Distribución de probabilidad

En teoría de probabilidad y estadística , una distribución de probabilidad es la función matemática que da las probabilidades de ocurrencia de diferentes resultados posibles para un experimento . ^{[1] [2]} Es una descripción matemática de un fenómeno aleatorio en términos de su espacio muestral y las probabilidades de eventos (subconjuntos del espacio muestral). ^[3]

Por ejemplo, si se usa X para denotar el resultado de lanzar una moneda ("el experimento"), entonces la distribución de probabilidad de X tomaría el valor 0.5 (1 en 2 o 1/2) para X = cara , y 0.5 para X = cruz (asumiendo que la moneda es justa ). Los ejemplos de fenómenos aleatorios incluyen las condiciones climáticas en una fecha futura, la altura de una persona seleccionada al azar, la fracción de estudiantes varones en una escuela, los resultados de una encuesta a realizar, etc. ^[4]

Una distribución de probabilidad es una descripción matemática de las probabilidades de eventos, subconjuntos del espacio muestral . El espacio muestral, a menudo denotado por , es el conjunto de todos los resultados posibles de un fenómeno aleatorio que se observa; puede ser cualquier conjunto: un conjunto de números reales , un conjunto de vectores , un conjunto de valores arbitrarios no numéricos, etc. Por ejemplo, el espacio muestral de un lanzamiento de moneda sería Ω = {cara, cruz} .${\ estilo de visualización \ omega}$

Para definir distribuciones de probabilidad para el caso específico de variables aleatorias (para que el espacio muestral pueda verse como un conjunto numérico), es común distinguir entre variables aleatorias discretas y absolutamente continuas . En el caso discreto, es suficiente especificar una función de masa de probabilidad asignando una probabilidad a cada posible resultado: por ejemplo, al lanzar un dado justo , cada uno de los seis valores del 1 al 6 tiene la probabilidad 1/6. Entonces, la probabilidad de un evento se define como la suma de las probabilidades de los resultados que satisfacen el evento; por ejemplo, la probabilidad del evento "el dado arroja un valor par" es ${\ estilo de visualización p}$

Por el contrario, cuando una variable aleatoria toma valores de un continuo, por lo general, cualquier resultado individual tiene una probabilidad cero y solo los eventos que incluyen una cantidad infinita de resultados, como los intervalos, pueden tener una probabilidad positiva. Por ejemplo, considere medir el peso de una pieza de jamón en el supermercado y suponga que la báscula tiene muchos dígitos de precisión. La probabilidad de que pese exactamente 500 g es cero, ya que lo más probable es que tenga algunos dígitos decimales distintos de cero. No obstante, se podría exigir, en el control de calidad, que un paquete de "500 g" de jamón debe pesar entre 490 g y 510 g con al menos un 98% de probabilidad, y esta exigencia es menos sensible a la precisión de los instrumentos de medición.

Las distribuciones de probabilidad absolutamente continuas se pueden describir de varias maneras. La función de densidad de probabilidad describe la probabilidad infinitesimal de cualquier valor dado, y la probabilidad de que el resultado se encuentre en un intervalo dado se puede calcular integrando la función de densidad de probabilidad en ese intervalo. ^[5] Una descripción alternativa de la distribución es por medio de la función de distribución acumulativa , que describe la probabilidad de que la variable aleatoria no sea mayor que un valor dado (es decir, para algunos ). La función de distribución acumulativa es el área bajo la función de densidad de probabilidad de a${\ estilo de visualización P (X <x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle x}$, como se describe en la imagen de la derecha. ^[6]

La función de masa de probabilidad (pmf) especifica la distribución de probabilidad para la suma de las cuentas de dos dados . Por ejemplo, la figura muestra que . La pmf permite el cálculo de probabilidades de eventos como , y todas las demás probabilidades en la distribución.${\displaystyle p(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle p(11)=2/36=1/18}$${\displaystyle P(X>9)=1/12+1/18+1/36=1/6}$

La izquierda muestra la función de densidad de probabilidad. La derecha muestra la función de distribución acumulativa, para la cual el valor en a es igual al área bajo la curva de densidad de probabilidad a la izquierda de a .

La función de densidad de probabilidad (pdf) de la distribución normal , también llamada gaussiana o "curva de campana", la distribución aleatoria absolutamente continua más importante. Como se indica en la figura, las probabilidades de los intervalos de valores corresponden al área bajo la curva.

La función de masa de probabilidad de una distribución de probabilidad discreta. Las probabilidades de los singletons {1}, {3} y {7} son respectivamente 0,2, 0,5 y 0,3. Un conjunto que no contiene ninguno de estos puntos tiene probabilidad cero.

El cdf de una distribución de probabilidad discreta, ...

... de una distribución de probabilidad continua, ...

... de una distribución que tiene tanto una parte continua como una parte discreta.

Una solución para las ecuaciones de Rabinovich-Fabrikant . ¿Cuál es la probabilidad de observar un estado en cierto lugar del soporte (es decir, el subconjunto rojo)?