Topología del producto

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio de producto es el producto cartesiano de una familia de espacios topológicos equipados con una topología natural denominada topología de producto . Esta topología difiere de otra topología, quizás más obvia, llamada topología de caja , que también se puede dar a un espacio de producto y que concuerda con la topología de producto cuando el producto se encuentra en una cantidad finita de espacios. Sin embargo, la topología del producto es "correcta" en el sentido de que hace que el espacio del producto sea un producto categórico de sus factores, mientras que la topología de caja es demasiado fina .; en ese sentido, la topología del producto es la topología natural del producto cartesiano.

En todo momento, habrá un conjunto de índices no vacíos y para cada índice habrá un espacio topológico . Dejar ${\ estilo de visualización yo}$ ${\ estilo de visualización i \ en yo,}$ ${\ estilo de visualización X_ {i}}$

sea el producto cartesiano de los conjuntos y denote las proyecciones canónicas por La topología del producto , a veces llamada topología de Tychonoff , se define como la topología más gruesa (es decir, la topología con la menor cantidad de conjuntos abiertos) para la cual todas las proyecciones son continuas . El producto cartesiano dotado de la topología del producto se denomina espacio del producto . La topología del producto también se denomina topología de convergencia puntual debido al siguiente hecho: una secuencia (o red ) en ${\ estilo de visualización X_ {i},}$ $p_{i}:X\a X_{i}.$ ${\ estilo de visualización X}$ $p_{i}$ $X:=\prod _{i\in I}X_{i}$ $X$ converge si y sólo si todas sus proyecciones a los espacios convergen. En particular, si se considera el espacio de todas las funciones de valor real , la convergencia en la topología del producto es lo mismo que la convergencia puntual de funciones. $X_{i}$ $X=\mathbb {R} ^{I}$ $I,$