En cualquier dominio de las matemáticas , un espacio tiene una topología natural si hay una topología en el espacio que está "mejor adaptada" a su estudio dentro del dominio en cuestión. En muchos casos, esta definición imprecisa significa poco más que la afirmación de que la topología en cuestión surge de forma natural o canónica (ver jerga matemática ) en el contexto dado.
Tenga en cuenta que, en algunos casos, las topologías múltiples parecen "naturales". Por ejemplo, si Y es un subconjunto de un conjunto X totalmente ordenado , entonces la topología de orden inducida , es decir, la topología de orden de Y totalmente ordenada , donde este orden se hereda de X , es más burda que la topología subespacial de la topología de orden de X .
La "topología natural" tiene a menudo un significado más específico, al menos dada alguna información contextual previa: la topología natural es una topología que hace que un mapa natural o una colección de mapas sean continuos . Esto sigue siendo impreciso, incluso una vez que se ha especificado cuáles son los mapas naturales, porque puede haber muchas topologías con la propiedad requerida. Sin embargo, a menudo hay una topología más fina o más tosca que hace que los mapas dados sean continuos, en cuyo caso estos son candidatos obvios para la topología natural.
Los casos más simples (que sin embargo cubren muchos ejemplos) son la topología inicial y la topología final (Willard (1970)). La topología inicial es la topología más burda en un espacio X que hace que una colección dada de mapas de X a espacios topológicos X i sea continua. La topología final es la topología más fina en un espacio X que hace que una colección dada de mapas de los espacios topológicos X i a X sea continua.
Dos de los ejemplos más simples son las topologías naturales de subespacios y espacios de cociente.
- La topología natural en un subconjunto de un espacio topológico es la topología del subespacio . Esta es la topología más burda que hace que el mapa de inclusión sea continuo.
- La topología natural en un cociente de un espacio topológico es la topología del cociente . Esta es la topología más fina que hace que el mapa de cocientes sea continuo.
Otro ejemplo es que cualquier espacio métrico tiene una topología natural inducida por su métrica .
Referencias
- Willard, Stephen (1970). Topología general . Addison-Wesley, Massachusetts. (Edición reciente publicada por Dover (2004) ISBN 0-486-43479-6 .)