donde la integral se lleva a cabo con respecto a la longitud de arco ds del gran círculo C ( x ) que consta de todos los vectores unitarios perpendiculares ax :
Inversión
La transformada Funk aniquila todas las funciones impares , por lo que es natural limitar la atención al caso en el que f es par. En ese caso, la transformación de Funk lleva funciones pares (continuas) a funciones continuas pares y, además, es invertible.
Armónicos esféricos
Cada función de integración cuadrada en la esfera se puede descomponer en armónicos esféricos
Luego, la transformación Funk de f lee
donde para valores impares y
para valores pares. Funk (1913) mostró este resultado .
Fórmula de inversión de Helgason
Otra fórmula de inversión se debe a Helgason (1999) . Al igual que con la transformada de radón, la fórmula de inversión se basa en la transformada dual F * definida por
Este es el valor promedio de la función circular ƒ sobre círculos de distancia de arco p desde el punto x . La transformada inversa está dada por
y así da una función homogénea de grado -1 en el cuadrado exterior de R 3 ,
La función Fƒ : Λ 2 R 3 → R concuerda con la transformada de Funk cuando ƒ es la extensión homogénea de grado −2 de una función en la esfera y el espacio proyectivo asociado a Λ 2 R 3 se identifica con el espacio de todos los círculos en el esfera. Alternativamente, Λ 2 R 3 se puede identificar con R 3 de una manera SL (3, R ) -invariante, por lo que la transformada de Funk F mapea funciones uniformes incluso homogéneas de grado -2 en R 3 \ {0} para suavizar incluso homogéneas funciones de grado -1 en R3 \ {0}.
Aplicaciones
La transformada Funk-Radon se utiliza en el método Q-Ball para Difusión MRI introducido en ( Tuch 2004 ). También está relacionado con los cuerpos de intersección en geometría convexa. Sea un cuerpo de estrella con función radial . Entonces el cuerpo de intersección IK de K tiene la función radial , ver ( Gardner 2006 , p. 305).