En matemáticas , una variedad bandera generalizada (o simplemente variedad flag ) es un espacio homogéneo cuyos puntos son banderas en una dimensión finita espacio vectorial V sobre un campo F . Cuando F son los números reales o complejos, una variedad de bandera generalizada es una variedad suave o compleja , llamada variedad de bandera real o compleja . Las variedades bandera son naturalmente variedades proyectivas .
Las variedades de bandera se pueden definir en varios grados de generalidad. Un prototipo es la variedad de banderas completos en un espacio vectorial V sobre un campo F , que es una variedad bandera para el grupo lineal especial sobre F . Otras variedades de banderas surgen al considerar banderas parciales, o por restricción del grupo lineal especial a subgrupos como el grupo simpléctico . Para banderas parciales, es necesario especificar la secuencia de dimensiones de las banderas consideradas. Para los subgrupos del grupo lineal, se deben imponer condiciones adicionales a las banderas.
En el sentido más general, una variedad bandera generalizada se define como una variedad proyectiva homogénea , es decir, una variedad proyectiva suave X sobre un campo F con una acción transitiva de un grupo reductor G (y un subgrupo estabilizador suave; eso no es restricción para F de característica cero). Si X tiene un F - punto racional , entonces es isomorfo a G / P para algún subgrupo parabólico P de G. Una variedad homogénea proyectiva también puede realizarse como la órbita de un peso más alto vector en un projectivized representación de G . Las variedades homogéneas proyectivas complejas son los espacios modelo planos compactos para geometrías Cartan de tipo parabólico. Son variedades de Riemann homogéneas bajo cualquier subgrupo compacto máximo de G , y son precisamente las órbitas coadjuntas de grupos de Lie compactos .
Los colectores de bandera pueden ser espacios simétricos . Sobre los números complejos, las variedades de bandera correspondientes son los espacios simétricos hermitianos . Sobre los números reales, un espacio R es sinónimo de una variedad de bandera real y los espacios simétricos correspondientes se denominan espacios R simétricos .
Una bandera en un espacio vectorial de dimensión finita V sobre un campo F es una secuencia creciente de subespacios , donde "creciente" significa que cada uno es un subespacio propio del siguiente (ver filtración ):
donde n es la dimensión de V . Por tanto, debemos tener k ≤ n . Una bandera se llama bandera completa si d i = i para todo i ; de lo contrario, se llama bandera parcial . La firma de la bandera es la secuencia ( d 1 ,…, d k ).