Un campo vectorial proyectivo ( proyectivo ) es un campo vectorial suave en una variedad semi- riemanniana (p. Ej., Espacio -tiempo )cuyo flujo conserva la estructura geodésica desin conservar necesariamente el parámetro afín de ninguna geodésica. De manera más intuitiva, el flujo de las geodésicas de mapas proyectivos sin problemas en las geodésicas sin preservar el parámetro afín.
Descomposición
Al tratar con un campo vectorial en una variedad semi- riemanniana (p. ej. en relatividad general ), a menudo es útil descomponer la derivada covariante en sus partes simétricas y asimétricas:
dónde
y
Tenga en cuenta que son los componentes covariantes de .
Condiciones equivalentes
Matemáticamente, la condición de un campo vectorial ser proyectivo es equivalente a la existencia de una forma única satisfactorio
que es equivalente a
El conjunto de todos los campos vectoriales proyectivos globales sobre una variedad compacta o conectada forma un álgebra de Lie de dimensión finita denotada por(el álgebra proyectiva ) y satisface para variedades conectadas la condición:. Aquí, un campo de vector proyectivo se determina de forma única especificando los valores de, y (de forma equivalente, especificando , , y ) en cualquier punto de . (Para colectores no conectados, debe especificar estos 3 en un punto por componente conectado). Las proyectivas también satisfacen las propiedades:
Subálgebras
Pueden ocurrir varios casos especiales importantes de campos vectoriales proyectivos y forman subálgebras de Lie de . Estas subálgebras son útiles, por ejemplo, para clasificar los espaciotiempos en la relatividad general.
Álgebra afín
Los campos vectoriales afines (afines) satisfacen (equivalentemente, ) y, por tanto, todo afín es proyectivo. Affines conserva la estructura geodésica del semi Riem. manifold (leer espacio-tiempo) al mismo tiempo que se conserva el parámetro afín. El conjunto de todos los afines enforma una subálgebra de mentira de denotado por (el álgebra afín ) y satisface para M conectado ,. Un vector afín se determina de forma única especificando los valores del campo vectorial y su primera derivada covariante (de forma equivalente, especificando, y ) en cualquier punto de . Affines también conserva los tensores de Riemann, Ricci y Weyl, es decir
- , ,
Álgebra homotética
Los campos vectoriales homotéticos (homotecias) conservan la métrica hasta un factor constante, es decir. Como, toda homotecia es un afín y el conjunto de todas las homotecias en forma una subálgebra de mentira de denotado por (el álgebra homotética ) y satisface para M conectado
- .
Un campo vectorial homotético se determina de forma única especificando los valores del campo vectorial y su primera derivada covariante (de forma equivalente, especificando , y ) en cualquier punto del colector.
Matar álgebra
Killing vector fields (Killings) conserva la métrica, es decir. Tomando En la propiedad definitoria de una homotecia, se ve que cada Killing es una homotecia (y por tanto un afín) y el conjunto de todos los campos vectoriales Killing en forma una subálgebra de mentira de denotado por (el álgebra de Killing ) y satisface para M conectado
- .
Un campo de vector de Killing se determina de forma única especificando los valores del campo de vector y su primera derivada covariante (de forma equivalente, especificando y ) en cualquier punto (para cada componente conectado) de .
Aplicaciones
En la relatividad general, muchos espaciotiempos poseen ciertas simetrías que pueden caracterizarse por campos vectoriales en el espaciotiempo. Por ejemplo, el espacio de Minkowski admite el álgebra proyectiva máxima, es decir .
Hall (2004) puede encontrar muchas otras aplicaciones de los campos vectoriales de simetría en la relatividad general, que también contiene una extensa bibliografía que incluye muchos trabajos de investigación en el campo de las simetrías en la relatividad general .
Referencias
- Pobre, W. (1981). Estructuras geométricas diferenciales . Nueva York: McGraw Hill. ISBN 0-07-050435-0.
- Yano, K. (1970). Fórmulas integrales en geometría riemanniana . Nueva York: Marcel Dekker. ISBN ???.
- Hall, Graham (2004). Simetrías y estructura de curvatura en la relatividad general (Notas de la conferencia científica mundial en física) . Singapur: World Scientific Pub. ISBN 981-02-1051-5.