La prueba de reciprocidad cuadrática de Eisenstein es una simplificación de la tercera prueba de Gauss. Es más intuitivo geométricamente y requiere menos manipulación técnica.
El punto de partida es el "lema de Eisenstein", que establece que para distintos primos impares p , q ,
![\left({\frac qp}\right)=(-1)^{{\sum _{u}\left\lfloor qu/p\right\rfloor }},](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
denota la función de piso (el mayor entero menor o igual ax ), y donde la suma se toma sobre los enteros pares u = 2, 4, 6, ..., p −1. Por ejemplo,
![\left({\frac 7{11}}\right)=(-1)^{{\left\lfloor 14/11\right\rfloor +\left\lfloor 28/11\right\rfloor +\left\lfloor 42/11\right\rfloor +\left\lfloor 56/11\right\rfloor +\left\lfloor 70/11\right\rfloor }}=(-1)^{{1+2+3+5+6}}=(-1)^{{17}}=-1.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Este resultado es muy similar al lema de Gauss , y puede demostrarse de manera similar (prueba a continuación).
Usando esta representación de ( q / p ), el argumento principal es bastante elegante. La suma
cuenta el número de puntos de celosía con coordenada x par en el interior del triángulo ABC en el siguiente diagrama:
![](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7) Diagrama de punto de celosía | ![](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7) Ejemplo que muestra puntos de celosía dentro de ABC con coordenadas x pares, para p = 11 y q = 7 |
Debido a que cada columna tiene un número par de puntos (a saber, q −1 puntos), el número de tales puntos de celosía en la región BCYX es el mismo módulo 2 que el número de tales puntos en la región CZY:
![](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El número de puntos con coordenada
x par dentro de BCYX (marcado con O) es igual módulo 2 al número de puntos en CZY (marcado con X)
Entonces por voltear el diagrama en ambos ejes, vemos que el número de puntos con incluso x coordenada dentro CZY es el mismo que el número de puntos dentro de AXY tener impar x coordenadas x:
![](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El número de puntos con incluso
x coordenada dentro CZY es igual al número de puntos con
impar x AXY dentro coordenada
La conclusión es que
![\left({\frac qp}\right)=(-1)^{\mu },](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde μ es el número total de puntos de celosía en el interior de AYX. Cambio de p y q , el mismo argumento muestra que
![\left({\frac pq}\right)=(-1)^{\nu },](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde ν es el número de puntos de celosía en el interior de WYA. Dado que no existen puntos de la red en la propia línea AY (porque p y q son primos entre sí ), y puesto que el número total de puntos en el rectángulo WYXA es
![\left({\frac {p-1}2}\right)\left({\frac {q-1}2}\right),](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
obtenemos finalmente
![\left({\frac qp}\right)\left({\frac pq}\right)=(-1)^{{\mu +\nu }}=(-1)^{{(p-1)(q-1)/4}}.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Prueba del lema de Eisenstein
Para un número entero par u en el rango 1 ≤ u ≤ p −1, denote por r ( u ) el residuo menos positivo de qu módulo p . (Por ejemplo, para p = 11, q = 7, permitimos que u = 2, 4, 6, 8, 10, y los valores correspondientes de r ( u ) son 3, 6, 9, 1, 4.) Los números (−1) r ( u ) r ( u ), nuevamente tratados como residuos mínimos positivos módulo p , son todos pares (en nuestro ejemplo actual, son 8, 6, 2, 10, 4.) Además, todos son distintos , porque si (−1) r ( u ) r ( u ) ≡ (−1) r ( t ) r ( t ) (mod p ), entonces podemos dividir por q para obtener u ≡ ± t (mod p ) . Esto fuerza a u ≡ t (mod p ), porque tanto u como t son pares , mientras que p es impar. Dado que hay exactamente ( p −1) / 2 de ellos y son distintos, deben ser simplemente una reordenación de los enteros pares 2, 4, ..., p −1. Multiplicándolos, obtenemos
![{\displaystyle (-1)^{r(2)}2q\cdot (-1)^{r(4)}4q\cdot \cdots \cdot (-1)^{r(p-1)}(p-1)q\equiv 2\cdot 4\cdot \cdots \cdot (p-1){\pmod {p}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Dividiendo sucesivamente por 2, 4, ..., p −1 en ambos lados (lo cual es permisible ya que ninguno de ellos es divisible por p ) y reordenando, tenemos
![{\displaystyle q^{(p-1)/2}\equiv (-1)^{r(2)+r(4)+\cdots +r(p-1)}{\pmod {p}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por otro lado, por la definición de r ( u ) y la función piso,
![{\frac {qu}p}=\left\lfloor {\frac {qu}p}\right\rfloor +{\frac {r(u)}p},](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y como p es impar y u es par, vemos que
y r ( u ) son congruentes módulo 2. Finalmente, esto muestra que
![{\displaystyle q^{(p-1)/2}\equiv (-1)^{\sum _{u}\left\lfloor qu/p\right\rfloor }{\pmod {p}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Hemos terminado porque el lado izquierdo es solo una expresión alternativa para ( q / p ) .
La prueba de reciprocidad cuadrática usando sumas de Gauss es una de las pruebas más comunes y clásicas. Estas demostraciones funcionan comparando cálculos de valores individuales de dos maneras diferentes, una usando el Criterio de Euler y la otra usando el teorema del Binomio . Como ejemplo de cómo se usa el criterio de Euler, podemos usarlo para dar una prueba rápida del primer caso suplementario de determinar
para un primo impar p : según el criterio de Euler
, pero como ambos lados de la equivalencia son ± 1 yp es impar, podemos deducir que
.
El segundo caso complementario
Dejar
, una octava raíz primitiva de unidad y conjunto
. Desde
y
vemos eso
. Porque
es un entero algebraico, si p es un primo impar, tiene sentido hablar de él módulo p . (Formalmente estamos considerando el anillo conmutativo formado al factorizar los enteros algebraicos
con el ideal generado por p . Porque
no es un entero algebraico, 1, 2, ..., p son elementos distintos de
.) Utilizando el criterio de Euler, se sigue que
![{\displaystyle \tau ^{p-1}=(\tau ^{2})^{\frac {p-1}{2}}=2^{\frac {p-1}{2}}\equiv \left({\frac {2}{p}}\right){\pmod {p}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Entonces podemos decir que ![{\displaystyle \tau ^{p}\equiv \left({\frac {2}{p}}\right)\tau {\pmod {p}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Pero también podemos calcular
utilizando el teorema del binomio. Debido a que todos los términos cruzados en la expansión binomial contienen factores de p , encontramos que
. Podemos evaluar esto más exactamente dividiéndolo en dos casos
.
.
Estas son las únicas opciones para un módulo primo 8 y ambos casos se pueden calcular usando la forma exponencial
. Podemos escribir esto sucintamente para todos los primos impares p como
![{\displaystyle \tau ^{p}\equiv (-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}\tau {\pmod {p}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Combinando estas dos expresiones para
y multiplicando por
encontramos eso
. Ya que ambos
y
son ± 1 y 2 es módulo p invertible , podemos concluir que ![{\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El caso general
La idea de la demostración general sigue el caso complementario anterior: encuentre un entero algebraico que de alguna manera codifique los símbolos de Legendre para p , luego encuentre una relación entre los símbolos de Legendre calculando la q- ésima potencia de este entero algebraico módulo q de dos formas diferentes, una usando el criterio de Euler el otro usando el teorema del binomio.
Dejar
![{\displaystyle g_{p}=\sum _{k=1}^{p-1}\left({\frac {k}{p}}\right)\zeta _{p}^{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
es una p- ésima raíz primitiva de la unidad. Esta es una suma cuadrática de Gauss . Una propiedad fundamental de estas sumas de Gauss es que ![{\displaystyle g_{p}^{2}=p^{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
. Para poner esto en el contexto de la siguiente prueba, los elementos individuales de la suma de Gauss están en el campo ciclotómico
Pero la fórmula anterior muestra que la suma en sí es un generador del campo cuadrática único contenido en L . Nuevamente, dado que la suma cuadrática de Gauss es un entero algebraico, podemos usar aritmética modular con ella. Usando esta fórmula fundamental y el criterio de Euler encontramos que ![{\displaystyle g_{p}^{q-1}=(g_{p}^{2})^{\frac {q-1}{2}}=(p^{*})^{\frac {q-1}{2}}\equiv \left({\frac {p^{*}}{q}}\right){\pmod {q}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por lo tanto ![{\displaystyle g_{p}^{q}\equiv \left({\frac {p^{*}}{q}}\right)g_{p}{\pmod {q}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Usando el teorema del binomio, también encontramos que
, Si dejamos que a sea un inverso multiplicativo de
, entonces podemos reescribir esta suma como
usando la sustitución
, que no afecta el rango de la suma. Desde
, entonces podemos escribir ![{\displaystyle g_{p}^{q}\equiv \left({\frac {q}{p}}\right)g_{p}{\pmod {q}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Usando estas dos expresiones para
, y multiplicando por
da ![{\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)p^{*}\equiv \left({\frac {p^{*}}{q}}\right)p^{*}{\pmod {q}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Desde
es módulo q invertible , y los símbolos de Legendre son ± 1, entonces podemos concluir que ![{\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=\left({\frac {p^{*}}{q}}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La prueba presentada aquí no es de ninguna manera la más simple conocida; sin embargo, es bastante profundo, en el sentido de que motiva algunas de las ideas de reciprocidad de Artin .
Configuración de campo ciclotómico
Suponga que p es un primo impar. La acción tiene lugar dentro del campo ciclotómico.
donde ζ p es una p- ésima raíz primitiva de la unidad . La teoría básica de los campos ciclotómicos nos informa que existe un isomorfismo canónico
![{\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )\cong (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
que envía el automorfismo σ un satisfactorio
al elemento
En particular, este isomorfismo es inyectivo porque el grupo multiplicativo de un campo es un grupo cíclico:
.
Consideremos ahora el subgrupo H de los cuadrados de los elementos de G . Desde G es cíclico, H tiene índice 2 en G , por lo que el subcampo correspondiente a H en virtud de la correspondencia de Galois debe ser un cuadrática extensión de Q . (De hecho, es la extensión cuadrática única de Q contenida en L. ) La teoría del período gaussiano determina cuál; resulta ser
, dónde
![{\displaystyle p^{*}=\left\{{\begin{array}{rl}p&{\text{if }}p\equiv 1{\pmod {4}},\\-p&{\text{if }}p\equiv 3{\pmod {4}}.\end{array}}\right.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En este punto, comenzamos a ver un indicio de reciprocidad cuadrática que emerge de nuestro marco. Por un lado, la imagen de H en
consiste precisamente en los residuos cuadráticos (distintos de cero) módulo p . Por otro lado, H está relacionado con un intento de sacar la raíz cuadrada de p (o posiblemente de - p ). En otras palabras, si ahora q es un primo (diferente de p ), hemos demostrado que
![{\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=1\quad \iff \quad \sigma _{q}\in H\quad \iff \quad \sigma _{q}{\mbox{ fixes }}\mathbb {Q} ({\sqrt {p^{*}}}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El automorfismo de Frobenius
En el anillo de los enteros
, elija cualquier ideal primo no ramificado β de estar sobre q , y deje
ser el automorfismo de Frobenius asociado a β; la propiedad característica de
es eso
![{\displaystyle \phi (x)\equiv x^{q}\!\!\!{\pmod {\beta }}\ {\text{ for any }}x\in {\mathcal {O}}_{L}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(La existencia de tal elemento de Frobenius depende de bastante maquinaria de la teoría de números algebraica).
El hecho clave sobre
lo que necesitamos es que para cualquier subcampo K de L ,
![{\displaystyle \phi \,{\mbox{ fixes }}K\quad \iff \quad q\,{\mbox{ splits completely in }}K.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
De hecho, sea δ cualquier ideal de O K por debajo de β (y por tanto por encima de q ). Entonces, desde
para cualquier
, vemos eso
es un Frobenius para δ. Un resultado estándar sobre
es que su orden es igual al grado de inercia correspondiente; es decir,
![{\displaystyle \operatorname {ord} (\phi \vert _{K})=[O_{K}/\delta O_{K}:\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} ].}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El lado izquierdo es igual a 1 si y solo si φ fija K , y el lado derecho es igual a uno si y solo q se divide completamente en K , así que hemos terminado.
Ahora, dado que el p th raíces de la unidad son distintos de módulo β (es decir, el polinomio X p - 1 es separable en la característica q ), debemos tener
![\phi (\zeta _{p})=\zeta _{p}^{q};](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es decir,
coincide con el automorfismo σ q definido anteriormente. Tomando K como el campo cuadrático que nos interesa, obtenemos la equivalencia
![{\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=1\quad \iff \quad q\,{\mbox{ splits completely in }}\mathbb {Q} ({\sqrt {p^{*}}}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Completando la prueba
Finalmente debemos demostrar que
![{\displaystyle q\,{\mbox{ splits completely in }}\mathbb {Q} ({\sqrt {p^{*}}})\quad \iff \quad \left({\frac {p^{*}}{q}}\right)=1.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Una vez hecho esto, la ley de reciprocidad cuadrática cae inmediatamente ya que
![{\displaystyle \left({\frac {p^{*}}{q}}\right)=\left({\frac {p}{q}}\right)\ {\text{ for }}p\equiv 1\!\!\!{\pmod {4}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y
![{\displaystyle \left({\frac {p^{*}}{q}}\right)=\left({\frac {-p}{q}}\right)=\left({\frac {-1}{q}}\right)\left({\frac {p}{q}}\right)={\begin{cases}+\left({\frac {p}{q}}\right)&{\mbox{if }}q\equiv 1{\pmod {4}},\\-\left({\frac {p}{q}}\right)&{\mbox{if }}q\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
por
.
Para mostrar la última equivalencia, suponga primero que
En este caso, hay un número entero x (no divisible por q ) tal que
decir
para algún entero c . Dejar
y considera el ideal
de K . Ciertamente divide el ideal principal ( q ). No puede ser igual a ( q ), ya que
no es divisible por q . No puede ser la unidad ideal, porque entonces
![(x+{\sqrt {p^{*}}})=(x+{\sqrt {p^{*}}})(x-{\sqrt {p^{*}}},q)=(cq,q(x+{\sqrt {p^{*}}}))](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es divisible por q , lo que de nuevo es imposible. Por lo tanto ( q ) dividida necesidad en K .
A la inversa, suponga que ( q ) se divide, y sea β un primo de K por encima de q . Luego
para que podamos elegir algunos
![{\displaystyle a+b{\sqrt {p^{*}}}\in \beta \setminus (q),{\text{ where }}a,b\in \mathbb {Q} .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
De hecho, desde
La teoría elemental de campos cuadráticos implica que el anillo de enteros de K es precisamente
por lo que los denominadores de un y b son, en el peor igual a 2. Desde q ≠ 2, que pueden de forma segura multiplicar una y b por 2, y asumir que
donde ahora un y b son en Z . En este caso tenemos
![{\displaystyle (a+b{\sqrt {p^{*}}})(a-b{\sqrt {p^{*}}})=a^{2}-b^{2}p^{*}\in \beta \cap \mathbb {Z} =(q),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
entonces
Sin embargo, q no puede dividir b , ya que entonces también q divide a , lo que contradice nuestra elección de
Por lo tanto, podemos dividir por b módulo q , para obtener
como se desee.