Mapa adecuado

Mapa entre espacios topológicos con la propiedad de que la preimagen de todo compacto es compacta

Este artículo trata sobre el concepto de topología . Para conocer el concepto en análisis convexo , consulte la función convexa adecuada .

En matemáticas , una función entre espacios topológicos se denomina propia si las imágenes inversas de subconjuntos compactos son compactas. ^[1] En geometría algebraica , el concepto análogo se llama morfismo propio .

Definición

Hay varias definiciones en competencia de una " función adecuada ". Algunos autores llaman a una función entre dos espacios topológicos apropiados si la imagen inversa de cada compacto conjunto en es compacto en Otros autores llaman un mapa adecuado si es continua y cerrada con fibras compactas ; es decir, si es un mapa cerrado continuo y la preimagen de cada punto es compacta . Las dos definiciones son equivalentes si es localmente compacto y Hausdorff .${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$

Prueba parcial de equivalencia

Sea un mapa cerrado, tal que sea ​​compacto (en X) para todos. Sea un subconjunto compacto de Queda por demostrar que es compacto.${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle y\in Y.}$${\displaystyle K}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle f^{-1}(K)}$ Sea una cubierta abierta de Entonces para todo esto también es una cubierta abierta de Dado que se supone que esta última es compacta, tiene una subcubierta finita. En otras palabras, para cada existe un subconjunto finito tal que El conjunto está cerrado y su imagen debajo está cerrada porque es un mapa cerrado. De ahí el conjunto${\displaystyle \left\{U_{a}~\colon ~a\in A\right\}}$${\displaystyle f^{-1}(K).}$${\displaystyle k\in K}$${\displaystyle f^{-1}(k).}$${\displaystyle k\in K,}$${\displaystyle \gamma _{k}\subseteq A}$${\displaystyle f^{-1}(k)\subseteq \cup _{a\in \gamma _{k}}U_{a}.}$${\displaystyle X\setminus \cup _{a\in \gamma _{k}}U_{a}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V_{k}=Y\setminus f\left(X\setminus \cup _{a\in \gamma _{k}}U_{a}\right)}$ está abierto en De ello se deduce que contiene el punto Ahora y, dado que se supone que es compacto, hay un número finito de puntos tales que , además, el conjunto es una unión finita de conjuntos finitos, lo que hace un conjunto finito.${\displaystyle Y.}$${\displaystyle V_{k}}$${\displaystyle k.}$${\displaystyle K\subseteq \cup _{k\in K}V_{k}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{s}}$${\displaystyle K\subseteq \cup _{i=1}^{s}V_{k_{i}}.}$${\displaystyle \Gamma =\cup _{i=1}^{s}\gamma _{k_{i}}}$${\displaystyle \Gamma }$ Ahora sigue eso y hemos encontrado una subcubierta finita que completa la demostración.${\displaystyle f^{-1}(K)\subseteq f^{-1}\left(\cup _{i=1}^{s}V_{k_{i}}\right)\subseteq \cup _{a\in \Gamma }U_{a}}$${\displaystyle f^{-1}(K),}$

Si es Hausdorff y es Hausdorff localmente compacto, entonces apropiado es equivalente a universalmente cerrado . Un mapa está cerrado universalmente si para cualquier espacio topológico el mapa está cerrado. En el caso de Hausdorff, esto equivale a requerir que para cualquier mapa se cierre el retroceso , como se deduce del hecho de que es un subespacio cerrado de${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle f\times \operatorname {id} _{Z}\colon X\times Z\to Y\times Z}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z\to Y}$${\displaystyle X\times _{Y}Z\to Z}$${\displaystyle X\times _{Y}Z}$${\displaystyle X\times Z.}$

Un equivalente, definición, posiblemente, más intuitivo cuando y son espacios métricos es el siguiente: decimos una secuencia infinita de puntos en un espacio topológico se escapa al infinito si, para cada conjunto compacto sólo un número finito de puntos están en A continuación, una aplicación continua es adecuado, siempre y sólo si por cada secuencia de puntos que escapa al infinito en la secuencia escapa al infinito en${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \{p_{i}\}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle \left\{p_{i}\right\}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \left\{f\left(p_{i}\right)\right\}}$${\displaystyle Y.}$

Propiedades

• Cada mapa continuo desde un espacio compacto a un espacio de Hausdorff es apropiado y cerrado .
• Cada mapa sobreyectivo adecuado es un mapa de cobertura compacto.
  • Un mapa se llama cobertura compacta si para cada subconjunto compacto existe algún subconjunto compacto tal que${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle K\subseteq Y}$${\displaystyle C\subseteq X}$${\displaystyle f(C)=K.}$
• Un espacio topológico es compacto si y solo si el mapa de ese espacio a un solo punto es adecuado.
• Si es un mapa continuo adecuado y es un espacio de Hausdorff generado de forma compacta (esto incluye espacios de Hausdorff que son primero contables o localmente compactos ), entonces está cerrado. ^[2]${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$

Generalización

Es posible generalizar la noción de mapas adecuados de espacios topológicos a lugares y topoi , ver ( Johnstone 2002 ).

Ver también

• Mapa casi abierto
• Mapas abiertos y cerrados
• Mapa perfecto
• Glosario de topología

Citas

1. Lee 2012 , p. 610, por encima de la Prop. A.53. sfn error: no target: CITEREFLee2012 (help)
2. Palais, Richard S. (1970). "Cuando se cierran los mapas adecuados" (PDF) . Actas de la American Mathematical Society . 24 : 835–836. doi : 10.1090 / s0002-9939-1970-0254818-x .

Referencias

• Bourbaki, Nicolas (1998). Topología general. Capítulos 5–10 . Elementos de las matemáticas. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-64563-4. Señor  1726872 .
• Johnstone, Peter (2002). Bocetos de un elefante: un compendio de teoría topos . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 0-19-851598-7., esp. sección C3.2 "Mapas adecuados"
• Brown, Ronald (2006). Topología y grupoides . Carolina del Norte: Booksurge . ISBN 1-4196-2722-8., esp. pag. 90 "Mapas adecuados" y los ejercicios de la sección 3.6.
• Brown, Ronald (1973). "Mapas secuencialmente adecuados y una compactación secuencial". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . 2. 7 : 515-522.
• Lee, John M. (2012). Introducción a los colectores lisos . Textos de Posgrado en Matemáticas . 218 (Segunda ed.). Nueva York Londres: Springer-Verlag . ISBN 978-1-4419-9981-8. OCLC  808682771 .