El cálculo de variaciones es un campo de análisis matemático que utiliza variaciones, que son pequeños cambios en funciones y funcionales , para encontrar máximos y mínimos de funcionales: mapeos de un conjunto de funciones a los números reales . [a] Los funcionales a menudo se expresan como integrales definidas que involucran funciones y sus derivadas . Las funciones que maximizan o minimizan los funcionales se pueden encontrar utilizando la ecuación de Euler-Lagrange del cálculo de variaciones.
Un ejemplo simple de tal problema es encontrar la curva de longitud más corta que conecta dos puntos. Si no hay restricciones, la solución es una línea recta entre los puntos. Sin embargo, si la curva está restringida a estar sobre una superficie en el espacio, entonces la solución es menos obvia y posiblemente existan muchas soluciones. Estas soluciones se conocen como geodésicas . El principio de Fermat plantea un problema relacionado : la luz sigue el camino de longitud óptica más corta que conecta dos puntos, lo que depende del material del medio. Un concepto correspondiente en mecánica es el principio de acción mínima/estacionaria .
Muchos problemas importantes involucran funciones de varias variables. Las soluciones de problemas de valores en la frontera para la ecuación de Laplace satisfacen el principio de Dirichlet . El problema de Plateau requiere encontrar una superficie de área mínima que abarque un contorno dado en el espacio: a menudo se puede encontrar una solución sumergiendo un marco en una solución de espuma de jabón. Aunque tales experimentos son relativamente fáciles de realizar, su interpretación matemática está lejos de ser simple: puede haber más de una superficie que se minimiza localmente y pueden tener una topología no trivial .
Se puede decir que el cálculo de variaciones comenzó con el problema de resistencia mínima de Newton en 1687, seguido por el problema de la curva braquistócrona planteado por Johann Bernoulli (1696). [2] Inmediatamente ocupó la atención de Jakob Bernoulli y el marqués de l'Hôpital , pero Leonhard Euler elaboró el tema por primera vez, a partir de 1733. Lagrange fue influenciado por el trabajo de Euler para contribuir significativamente a la teoría. Después de que Euler vio el trabajo de 1755 de Lagrange, de 19 años, Euler abandonó su propio enfoque parcialmente geométrico en favor del enfoque puramente analítico de Lagrange y renombró el tema como cálculo de variaciones .en su conferencia de 1756 Elementa Calculi Variationum . [3] [4] [1]
Legendre (1786) estableció un método, no del todo satisfactorio, para la discriminación de máximos y mínimos. Isaac Newton y Gottfried Leibniz también prestaron cierta atención al tema desde el principio. [5] Vincenzo Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Poisson (1831), Mikhail Ostrogradsky (1834) y Carl Jacobi (1837) han contribuido a esta discriminación . Un trabajo general importante es el de Sarrus (1842) que fue condensado y mejorado por Cauchy (1844). Strauch ha escrito otros tratados y memorias valiosos .(1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) y Carll (1885), pero quizás la obra más importante del siglo sea la de Weierstrass . Su célebre curso sobre la teoría hace época, y se puede afirmar que fue el primero en colocarlo sobre una base firme e incuestionable. Los problemas de Hilbert 20 y 23 publicados en 1900 alentaron un mayor desarrollo. [5]
En el siglo XX , David Hilbert , Oskar Bolza , Gilbert Ames Bliss , Emmy Noether , Leonida Tonelli , Henri Lebesgue y Jacques Hadamard , entre otros, hicieron contribuciones significativas. [5] Marston Morse aplicó el cálculo de variaciones en lo que ahora se llama teoría de Morse . [6] Lev Pontryagin , Ralph Rockafellar y FH Clarke desarrollaron nuevas herramientas matemáticas para el cálculo de variaciones en la teoría del control óptimo . [6] La programación dinámica deRichard Bellman es una alternativa al cálculo de variaciones. [7] [8] [9] [b]