Pseudocírculo
El pseudocírculo es el espacio topológico finito X que consta de cuatro puntos distintos { a , b , c , d } con la siguiente topología que no es de Hausdorff :
Esta topología corresponde al orden parcial donde los conjuntos abiertos son conjuntos cerrados hacia abajo. X es altamente patológico desde el punto de vista habitual de la topología general, ya que no satisface ningún axioma de separación además de T 0 . Sin embargo, desde el punto de vista de la topología algebraica, X tiene la propiedad notable de que es indistinguible del círculo S 1 .
Más precisamente, el mapa continuo f de S 1 a X (donde pensamos en S 1 como el círculo unitario en R 2 ) dado por
es una equivalencia de homotopía débil , es decir, f induce un isomorfismo en todos los grupos de homotopía . De ello se deduce [1] que f también induce un isomorfismo en la homología y cohomología singulares y, más generalmente, un isomorfismo en todas las teorías de homología y cohomología ordinarias o extraordinarias (por ejemplo, teoría K ).
Esto puede demostrarse mediante la siguiente observación. Como S 1 , X es la unión de dos conjuntos abiertos contráctiles { a , b , c } y { a , b , d } cuya intersección { a , b } es también la unión de dos conjuntos abiertos contraíbles disjuntos { a } y { b }. Así que, al igual que S 1 , el resultado se sigue del teorema del grupo de Seifert-van Kampen , como en el libro Topología y grupos . [2]
De manera más general, McCord ha demostrado que para cualquier complejo simplicial finito K , existe un espacio topológico finito X K que tiene el mismo tipo de homotopía débil que la realización geométrica | K | de K. _ Más precisamente, hay un funtor , que lleva K a X K , de la categoría de complejos simpliciales finitos y mapas simpliciales y una equivalencia de homotopía débil natural de | K | a X K. _ [3]