Axioma de separación

Axiomas de separación en espacios topológicos
Clasificación de Kolmogorov
T 0	(Kolmogorov)
T 1	(Fréchet)
T 2	(Hausdorff)
T 2 ½	(Urysohn)
completamente T 2	(completamente Hausdorff)
T 3	(Hausdorff regular)
T 3½	(Tychonoff)
T 4	(Hausdorff normal)
T 5	( Hausdorff completamente normal )
T 6	( Hausdorff perfectamente normal )
Historia

Una ilustración de algunos de los axiomas de separación. Las regiones de contorno discontinuo amorfas grises indican conjuntos abiertos que rodean conjuntos o puntos cerrados disjuntos: los círculos de contorno sólido rojos indican conjuntos cerrados, mientras que los puntos negros representan puntos.

En topología y campos relacionados de las matemáticas , hay varias restricciones que uno hace a menudo sobre los tipos de espacios topológicos que desea considerar. Algunas de estas restricciones vienen dadas por los axiomas de separación . Estos a veces se denominan axiomas de separación de Tychonoff , en honor a Andrey Tychonoff .

Los axiomas de separación son axiomas solo en el sentido de que, al definir la noción de espacio topológico , se podrían agregar estas condiciones como axiomas adicionales para obtener una noción más restringida de lo que es un espacio topológico. El enfoque moderno es fijar de una vez por todas la axiomatización del espacio topológico y luego hablar de tipos de espacios topológicos. Sin embargo, el término "axioma de separación" se ha quedado. Los axiomas de separación se denotan con la letra "T" después del alemán Trennungsaxiom , que significa "axioma de separación".

Los significados precisos de los términos asociados con los axiomas de separación han variado con el tiempo, como se explica en Historia de los axiomas de separación . Es importante comprender la definición de los autores de cada condición mencionada para saber exactamente lo que quieren decir, especialmente al leer literatura más antigua.

Definiciones preliminares [ editar ]

Antes de definir los axiomas de separación en sí mismos, damos un significado concreto al concepto de conjuntos (y puntos) separados en espacios topológicos . (Los conjuntos separados no son lo mismo que los espacios separados , definidos en la siguiente sección).

Los axiomas de separación se refieren al uso de medios topológicos para distinguir conjuntos disjuntos y puntos distintos . No es suficiente que los elementos de un espacio topológico sean distintos (es decir, desiguales ); es posible que deseemos que sean topológicamente distinguibles . De manera similar, no es suficiente que los subconjuntos de un espacio topológico estén separados; es posible que deseemos que se separen (de varias formas). Todos los axiomas de separación dicen, de una forma u otra, que los puntos o conjuntos que son distinguibles o separados en algún sentido débil también deben ser distinguibles o separados en algún sentido más fuerte.

Sea X un espacio topológico. A continuación, dos puntos x e Y en X son topológicamente distinguibles si no tienen exactamente los mismos barrios (o equivalentemente los mismos barrios abiertos); es decir, al menos uno de ellos tiene una vecindad que no es una vecindad del otro (o, de manera equivalente, hay un conjunto abierto al que pertenece un punto pero el otro no).

Dos puntos x y y son separados si cada uno de ellos tiene un barrio que no es un barrio de la otra; es decir, ninguno pertenece al cierre del otro . De manera más general, dos subconjuntos A y B de X están separados si cada uno es disjunto del cierre del otro. (Los cierres en sí mismos no tienen que estar separados.) Todas las condiciones restantes para la separación de conjuntos también se pueden aplicar a puntos (o a un punto y un conjunto) mediante el uso de conjuntos singleton. Puntos x y yse considerará separado, por barrios, por barrios cerrados, por una función continua, precisamente por una función, si y solo si sus conjuntos singleton { x } e { y } están separados según el criterio correspondiente.

Los subconjuntos A y B están separados por vecindarios si tienen vecindarios separados . Están separados por barrios cerrados si tienen barrios cerrados disjuntos. Están separados por una función continua si existe una función continua f desde el espacio X a la línea real R tal que la imagen f ( A ) sea igual a {0} yf ( B ) sea igual a {1}. Finalmente, están separados con precisión por una función continua si existe una función continua fdesde X a R tal que la imagen inversa f ^-1 ({0}) es igual a A y f ^-1 ({1}) es igual a B .

Estas condiciones se dan en orden de fuerza creciente: dos puntos que se puedan distinguir topológicamente deben ser distintos, y dos puntos separados que se puedan distinguir topológicamente. Cualesquiera dos conjuntos separados deben estar separados, dos conjuntos cualesquiera separados por vecindarios deben estar separados, y así sucesivamente.

Para obtener más información sobre estas condiciones (incluido su uso fuera de los axiomas de separación), consulte los artículos Conjuntos separados y Distinguibilidad topológica .

Definiciones principales [ editar ]

Todas estas definiciones utilizan esencialmente las definiciones preliminares anteriores.

Muchos de estos nombres tienen significados alternativos en parte de la literatura matemática, como se explica en Historia de los axiomas de separación ; por ejemplo, los significados de "normal" y "T ₄ " a veces se intercambian, de manera similar "regular" y "T ₃ ", etc. Muchos de los conceptos también tienen varios nombres; sin embargo, el que aparece en primer lugar es siempre menos probable que sea ambiguo.

La mayoría de estos axiomas tienen definiciones alternativas con el mismo significado; las definiciones dadas aquí caen en un patrón consistente que relaciona las diversas nociones de separación definidas en la sección anterior. Otras posibles definiciones se pueden encontrar en los artículos individuales.

En todas las siguientes definiciones, X es nuevamente un espacio topológico .

X es T ₀ , o Kolmogorov , si dos puntos distintos en X son topológicamente distinguibles . (Será un tema común entre los axiomas de separación tener una versión de un axioma que requiere T ₀ y una versión que no).
X es R ₀ , o simétrico , si dos puntos que se pueden distinguir topológicamente en X están separados.
X es T ₁ , o accesible o Fréchet o Tikhonov , si dos puntos distintos de X están separados. De manera equivalente, cada conjunto de un solo punto es un conjunto cerrado. Por tanto, X es T ₁ si y solo si es tanto T ₀ como R ₀ . (Aunque puede decir cosas como " espacio T ₁ ", "topología de Fréchet" y "suponga que el espacio topológico X es Fréchet"; evite decir "espacio de Fréchet" en este contexto, ya que hay otra noción completamente diferente de Fréchet espacio en el análisis funcional .)
X es R ₁ , o prerregular , si dos puntos que se pueden distinguir topológicamente en X están separados por vecindarios. Cada espacio R ₁ también es R ₀ .
X es Hausdorff , o T ₂ o está separado , si dos puntos distintos en X están separados por vecindarios. Por tanto, X es Hausdorff si y solo si es tanto T ₀ como R ₁ . Cada espacio de Hausdorff también es T ₁ .
X es T 2½ , o Urysohn , si dos puntos distintos en X están separados por vecindarios cerrados. Cada espacio T _2½ es también Hausdorff.
X es completamente Hausdorff , o completamente T ₂ , si dos puntos distintos en X están separados por una función continua. Cada espacio completamente de Hausdorff también es T _2½ .
X es regular si, dado cualquier punto x y un conjunto cerrado F en X tal que x no pertenece a F , están separados por vecindarios. (De hecho, en un espacio regular, cualquier x y F también estarán separados por vecindarios cerrados). Todo espacio regular también es R ₁ .
X es Hausdorff regular , o T ₃ , si es T ₀ y regular. ^[1] Cada espacio regular de Hausdorff también es T _2½ .
X es completamente regular si, dado cualquier punto x y el conjunto cerrado F en X tal que x no pertenece a F , están separados por una función continua. Cada espacio completamente regular también es regular.
X es Tychonoff , o T _3½ , completamente T ₃ , o Hausdorff completamente regular , si es T ₀ y completamente regular. ^[2] Cada espacio de Tychonoff es tanto Hausdorff regular como completamente Hausdorff.
X es normal si dos subconjuntos cerrados disjuntos de X están separados por vecindarios. (De hecho, un espacio es normal si y solo si dos conjuntos cerrados disjuntos pueden separarse mediante una función continua; este es el lema de Urysohn ).
X es normal regular si es tanto R ₀ como normal. Todo espacio regular normal es regular.
X es Hausdorff normal , o T ₄ , si es tanto T ₁ como normal. Cada espacio normal de Hausdorff es tanto Tychonoff como regular normal.
X es completamente normal si dos conjuntos separados están separados por vecindarios. Todo espacio completamente normal también es normal.
X es completamente normal de Hausdorff , o T ₅ o completamente T ₄ , si es completamente normal y T ₁ . Cada espacio de Hausdorff completamente normal es también Hausdorff normal.
X es perfectamente normal si dos conjuntos cerrados disjuntos están separados con precisión por una función continua. Todo espacio perfectamente normal también es completamente normal.
X es Hausdorff perfectamente normal , o T ₆ o perfectamente T ₄ , si es a la vez perfectamente normal y T ₁ . Cada espacio de Hausdorff perfectamente normal es también Hausdorff completamente normal.

La siguiente tabla resume los axiomas de separación así como las implicaciones entre ellos: las celdas que se fusionan representan propiedades equivalentes, cada axioma implica las de las celdas a su izquierda, y si asumimos el axioma T ₁ , entonces cada axioma también implica el los de las celdas de arriba (por ejemplo, todos los espacios T ₁ normales también son completamente regulares).

	Apartado	Separado por barrios	Separado por barrios cerrados	Separado por función	Separados con precisión por función
Puntos distinguibles	Simétrico	Preregular
Puntos distintos	Fréchet	Hausdorff	Urysohn	Completamente Hausdorff	Perfectamente Hausdorff
Conjunto cerrado y punto exterior	(siempre cierto)	Regular		Completamente regular	Perfectamente regular
Conjuntos cerrados disjuntos	(siempre cierto)	Normal			Perfectamente normal
Conjuntos separados	(siempre cierto)	Completamente normal

Relaciones entre los axiomas [ editar ]

El axioma T ₀ es especial porque no solo se puede agregar a una propiedad (de modo que completamente regular más T ₀ es Tychonoff) sino que también se puede restar de una propiedad (de modo que Hausdorff menos T ₀ es R ₁ ), de manera bastante sentido preciso; consulte el cociente de Kolmogorov para obtener más información. Cuando se aplica a los axiomas de separación, esto conduce a las relaciones en la tabla de la izquierda a continuación. En esta tabla, va del lado derecho al lado izquierdo agregando el requisito de T ₀, y va del lado izquierdo al derecho eliminando ese requisito, utilizando la operación de cociente de Kolmogorov. (Los nombres entre paréntesis que aparecen en el lado izquierdo de esta tabla son generalmente ambiguos o al menos menos conocidos; pero se utilizan en el diagrama siguiente).

Versión T ₀	Versión no T ₀
T ₀	(Sin requisitos)
T ₁	R ₀
Hausdorff (T ₂ )	R ₁
T _2½	(Sin nombre especial)
Completamente Hausdorff	(Sin nombre especial)
Hausdorff regular (T ₃ )	Regular
Tychonoff (T _3½ )	Completamente regular
T ₀ normal	Normal
Hausdorff normal (T ₄ )	Normal regular
T ₀ completamente normal	Completamente normal
Hausdorff completamente normal (T ₅ )	Regular completamente normal
T ₀ perfectamente normal	Perfectamente normal
Hausdorff perfectamente normal (T ₆ )	Regular perfectamente normal

Aparte de la inclusión o exclusión de T ₀ , las relaciones entre los axiomas de separación se indican en el diagrama de la derecha. En este diagrama, la versión que no es T ₀ de una condición está en el lado izquierdo de la barra y la versión T ₀ está en el lado derecho. Las letras se utilizan como abreviatura de la siguiente manera: "P" = "perfectamente", "C" = "completamente", "N" = "normal" y "R" (sin subíndice) = "regular". Una viñeta indica que no hay un nombre especial para un espacio en ese lugar. El guión en la parte inferior indica que no hay condición.

Puede combinar dos propiedades usando este diagrama siguiendo el diagrama hacia arriba hasta que ambas ramas se encuentren. Por ejemplo, si un espacio es completamente normal ("CN") y completamente Hausdorff ("CT ₂ "), luego de seguir ambas ramas hacia arriba, encontrará el lugar "• / T ₅ ". Dado que los espacios completamente de Hausdorff son T ₀ (aunque los espacios completamente normales pueden no serlo), toma el lado T ₀ de la barra, por lo que un espacio completamente normal de Hausdorff es lo mismo que un espacio T ₅ (menos ambiguamente conocido como completamente espacio de Hausdorff normal, como puede ver en la tabla de arriba).

Como puede ver en el diagrama, normal y R ₀ juntos implican una serie de otras propiedades, ya que la combinación de las dos propiedades lo lleva a seguir un camino a través de los muchos nodos en la rama del lado derecho. Dado que la regularidad es el más conocido de estos, los espacios que son tanto normales como R ₀ se denominan normalmente "espacios regulares normales". De una manera algo similar, los espacios que son tanto normales como T _{1 a} menudo se denominan "espacios de Hausdorff normales" por personas que desean evitar la notación ambigua "T". Estas convenciones se pueden generalizar a otros espacios regulares y espacios de Hausdorff.

Otros axiomas de separación [ editar ]

Hay algunas otras condiciones en los espacios topológicos que a veces se clasifican con los axiomas de separación, pero no se ajustan completamente a los axiomas de separación habituales. Aparte de sus definiciones, no se tratan aquí; ver sus artículos individuales.

X es sobrio si, para cada conjunto cerrado C que no es la unión (posiblemente nondisjoint) de dos más pequeños conjuntos cerrados, hay un punto único p tal que el cierre de { p } es igual a C . Más brevemente, todo conjunto cerrado irreductible tiene un punto genérico único. Cualquier espacio de Hausdorff debe ser sobrio y cualquier espacio sobrio debe ser T ₀ .
X es débil Hausdorff si, para cada aplicación continua f de X desde un espacio de Hausdorff compacto, la imagen de f es cerrado en X . Cualquier espacio de Hausdorff debe ser un Hausdorff débil, y cualquier espacio de Hausdorff débil debe ser T ₁ .
X es semirregular si los conjuntos abiertos regulares forman una base de para los conjuntos abiertos de X . Cualquier espacio regular también debe ser semirregular.
X es casi regular si por cualquier conjunto abierto no vacío G , existe un conjunto abierto no vacío H tal que el cierre de H está contenido en G .
X es completamente normal si cada cubierta abierta tiene un refinamiento de estrella abierta . X es completamente T 4 , o Hausdorff completamente normal , si es T ₁ y completamente normal. Cada espacio completamente normal es normal y cada espacio completamente T ₄ es T ₄ . Además, se puede demostrar que todo espacio completamente T ₄ es paracompacto . De hecho, los espacios completamente normales tienen más que ver con la paracompactancia que con los axiomas de separación habituales.
El axioma de que todos los subconjuntos compactos están cerrados está estrictamente entre T ₁ y T ₂ (Hausdorff) en fuerza. Un espacio que satisface este axioma es necesariamente T ₁ porque todo conjunto de un solo punto es necesariamente compacto y, por lo tanto, cerrado, pero lo contrario no es necesariamente cierto; para la topología cofinita en un número infinito de puntos, que es T ₁ , cada subconjunto es compacto pero no todos los subconjuntos son cerrados. Además, cada espacio T ₂ (Hausdorff) satisface el axioma de que todos los subconjuntos compactos son cerrados, pero lo contrario no es necesariamente cierto; para la topología cocountable en incontablesEn muchos puntos, los conjuntos compactos son todos finitos y, por tanto, todos cerrados, pero el espacio no es T ₂ (Hausdorff).

Ver también [ editar ]

Topología general

Notas [ editar ]

^ Schechter, pág. 441
^ Schechter, pág. 443

Referencias [ editar ]

Schechter, Eric (1997). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego: Prensa académica. ISBN 0126227608.(tiene axiomas R _i , entre otros)
Willard, Stephen (1970). Topología general . Reading, Mass .: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 0-486-43479-6.(tiene todos los axiomas que no son R _i mencionados en las Definiciones principales, con estas definiciones)
Merrifield, Richard E .; Simmons, Howard E. (1989). Métodos topológicos en química . Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-83817-9. CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace ) (da una introducción legible a los axiomas de separación con énfasis en espacios finitos)

Enlaces externos [ editar ]

Axiomas de separación en ProvenMath
Tabla de axiomas de separación y metrisabilidad de Schechter

[1] Schechter, pág. 441

[2] Schechter, pág. 443