Métrica (matemáticas)
En matemáticas , una función métrica o de distancia es una función que da una distancia entre cada par de elementos puntuales de un conjunto . Un conjunto con una métrica es un espacio métrico . [1] Una métrica induce una topología en un conjunto, pero no todas las topologías pueden ser generadas por una métrica. Un espacio topológico cuya topología puede ser descrita por una métrica es un espacio metrizable .
Una fuente importante de métricas en geometría diferencial son los tensores métricos , formas bilineales que pueden definirse a partir de los vectores tangentes de una variedad diferenciable en un escalar. Un tensor métrico permite que las distancias a lo largo de las curvas se determinen a través de la integración y, por lo tanto, determina una métrica.
tal que para todo , se cumplen los siguientes tres axiomas:
Una métrica (como se define) es una función de valor real no negativa. Esto, junto con el axioma 1, proporciona una condición de separación , donde los puntos distintos o separados son precisamente aquellos que tienen una distancia positiva entre ellos.
Una métrica se llama ultramétrica si satisface la siguiente versión más fuerte de la desigualdad triangular para todos :
Una métrica sobre se llama intrínseca si para toda y cualquier longitud existe una curva de longitud menor que la que une y .
