En la geometría euclidiana , la desigualdad de Ptolomeo relaciona las seis distancias determinadas por cuatro puntos en el plano o en un espacio de dimensiones superiores. Establece que, para cuatro puntos A , B , C y D cualesquiera , se cumple la siguiente desigualdad :
Lleva el nombre del astrónomo y matemático griego Ptolomeo .
Los cuatro puntos se pueden ordenar de tres formas distintas (contando las inversiones como no distintas) para formar tres cuadriláteros diferentes , para cada uno de los cuales la suma de los productos de los lados opuestos es al menos tan grande como el producto de las diagonales. Por lo tanto, los tres términos de producto en la desigualdad se pueden permutar aditivamente para colocar cualquiera de ellos en el lado derecho de la desigualdad, por lo que los tres productos de lados opuestos o de las diagonales de cualquiera de los cuadriláteros deben obedecer a la desigualdad del triángulo . [1]
Como caso especial, el teorema de Ptolomeo establece que la desigualdad se convierte en una igualdad cuando los cuatro puntos se encuentran en orden cíclico en un círculo . El otro caso de igualdad ocurre cuando los cuatro puntos son colineales en orden. La desigualdad no se generaliza desde espacios euclidianos a espacios métricos arbitrarios . Los espacios donde permanece vigente se denominan espacios ptolemaicos ; incluyen los espacios de productos internos , los espacios de Hadamard y las distancias de trayectoria más cortas en los gráficos ptolemaicos .
Supuestos y derivación
La desigualdad de Ptolomeo se establece a menudo para un caso especial, en el que los cuatro puntos son los vértices de un cuadrilátero convexo , dado en orden cíclico. [2] [3] Sin embargo, el teorema se aplica de manera más general a cuatro puntos cualesquiera; no es necesario que el cuadrilátero que forman sea convexo, simple o incluso plano.
Para los puntos en el plano, la desigualdad de Ptolomeo se puede derivar de la desigualdad del triángulo mediante una inversión centrada en uno de los cuatro puntos. [4] [5] Alternativamente, se puede derivar interpretando los cuatro puntos como números complejos , utilizando la identidad del número complejo.
para construir un triángulo cuyas longitudes de los lados sean el producto de los lados del cuadrilátero dado y aplicar la desigualdad del triángulo a este triángulo. [6] También se pueden ver los puntos como pertenecientes a la línea proyectiva compleja , expresar la desigualdad en la forma en que los valores absolutos de dos razones cruzadas de los puntos suman al menos uno, y deducir esto del hecho de que la cruz -las razones mismas se suman a exactamente una. [7]
Una prueba de la desigualdad para puntos en el espacio tridimensional se puede reducir al caso plano, observando que para cualquier cuadrilátero no plano, es posible rotar uno de los puntos alrededor de la diagonal hasta que el cuadrilátero se vuelva plano, aumentando el la longitud de la otra diagonal y manteniendo las otras cinco distancias constantes. [6] En espacios de mayor dimensión que tres, cualesquiera cuatro puntos se encuentran en un subespacio tridimensional, y se puede usar la misma prueba tridimensional.
Cuatro puntos concíclicos
Para cuatro puntos en orden alrededor de un círculo , la desigualdad de Ptolomeo se convierte en una igualdad, conocida como teorema de Ptolomeo :
En la prueba basada en la inversión de la desigualdad de Ptolomeo, la transformación de cuatro puntos co-circulares mediante una inversión centrada en uno de ellos hace que los otros tres se vuelvan colineales, por lo que la igualdad del triángulo para estos tres puntos (de los cuales se puede derivar la desigualdad de Ptolomeo) se convierte en una igualdad. [5] Para otros cuatro puntos, la desigualdad de Ptolomeo es estricta.
En espacios métricos generales
La desigualdad de Ptolomeo se mantiene de manera más general en cualquier espacio de producto interno , [1] [8] y siempre que sea cierto para un espacio vectorial normal normalizado , ese espacio debe ser un espacio de producto interno. [8] [9]
Para otros tipos de espacio métrico , la desigualdad puede ser válida o no. Un espacio en el que se sostiene se llama ptolemaico . Por ejemplo, considere el gráfico de ciclo de cuatro vértices , que se muestra en la figura, con todas las longitudes de los bordes iguales a 1. La suma de los productos de los lados opuestos es 2. Sin embargo, los vértices diagonalmente opuestos están a una distancia de 2 entre sí, por lo que el El producto de las diagonales es 4, mayor que la suma de los productos de los lados. Por lo tanto, las distancias de trayectoria más cortas en este gráfico no son ptolemaicas. Los gráficos en los que las distancias obedecen a la desigualdad de Ptolomeo se denominan gráficos ptolemaicos y tienen una estructura restringida en comparación con los gráficos arbitrarios; en particular, no permiten ciclos inducidos de duración superior a tres, como el que se muestra. [10]
Los espacios ptolemaicos incluyen todos los espacios CAT (0) y, en particular, todos los espacios de Hadamard . Si una variedad riemanniana completa es ptolemaica, es necesariamente un espacio de Hadamard. [11]
Ver también
- Matemáticas griegas
- Ptolomeo
- Tabla de acordes de Ptolomeo
- El teorema de Ptolomeo
Referencias
- ^ a b Schoenberg, IJ (1940), "Sobre arcos métricos de curvatura de Menger que desaparece", Annals of Mathematics , Segunda serie, 41 : 715–726, doi : 10.2307 / 1968849 , MR 0002903.
- ^ Steele, J. Michael (2004), "Ejercicio 4.6 (Desigualdad de Ptolomeo)" , La Clase Magistral de Cauchy-Schwarz: Introducción al Arte de las Desigualdades Matemáticas , Libros de problemas MAA, Cambridge University Press, p. 69, ISBN 9780521546775.
- ^ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2009), "6.1 La desigualdad de Ptolomeo" , When Less is More: Visualizing Basic Inequalities , Dolciani Mathematical Expositions, 36 , Asociación Matemática de América, págs. 82–83, ISBN 9780883853429.
- ↑ Apostol (1967) atribuye la prueba basada en la inversión a los libros de texto de RA Johnson (1929) y Howard Eves (1963).
- ^ a b Stankova, Zvezdelina ; Rike, Tom, eds. (2008), "Problema 7 (Desigualdad de Ptolomeo)" , Una década del círculo matemático de Berkeley: La experiencia estadounidense , Biblioteca de círculos matemáticos de MSRI, 1 , Sociedad matemática estadounidense, p. 18, ISBN 9780821846834.
- ^ a b Apostol, Tom M. (1967), "La desigualdad de Ptolomeo y la métrica cordal", Revista de matemáticas , 40 : 233-235, MR 0225213.
- ^ Silvester, John R. (2001), "Proposición 9.10 (teorema de Ptolomeo)" , Geometría: Antiguo y Moderno , Oxford University Press, p. 229, ISBN 9780198508250.
- ^ a b Giles, JR (2000), "Ejercicio 12" , Introducción al análisis de espacios lineales normativos , serie de conferencias de la Australian Mathematical Society, 13 , Cambridge University Press, p. 47, ISBN 9780521653756.
- ^ Schoenberg, IJ (1952), "Un comentario sobre la caracterización de MM Day de los espacios de productos internos y una conjetura de LM Blumenthal", Proceedings of the American Mathematical Society , 3 : 961–964, doi : 10.2307 / 2031742 , MR 0052035.
- ^ Howorka, Edward (1981), "Una caracterización de los gráficos ptolemaicos", Journal of Graph Theory , 5 (3): 323–331, doi : 10.1002 / jgt.3190050314 , MR 0625074.
- ^ Buckley, SM; Falk, K .; Wraith, DJ (2009), "Ptolemaic spaces and CAT (0)", Glasgow Mathematical Journal , 51 (2): 301–314, doi : 10.1017 / S0017089509004984 , MR 2500753.