Submódulo puro
En matemáticas , especialmente en el campo de la teoría de módulos , el concepto de submódulo puro proporciona una generalización del sumando directo , un tipo de parte de un módulo que se comporta particularmente bien . Los módulos puros son complementarios a los módulos planos y generalizan la noción de subgrupos puros de Prüfer . Mientras que los módulos planos son aquellos módulos que dejan secuencias exactas cortas exactamente después de la tensión , un submódulo puro define una secuencia exacta corta (conocida como secuencia exacta pura ) que permanece exacta después de la tensión con cualquier módulo. De manera similar, un módulo plano es un límite directo demódulos proyectivos , y una secuencia exacta pura es un límite directo de secuencias exactas divididas .
Sea R un anillo (asociativo, con 1), sea M un módulo (leftt) sobre R , sea P un submódulo de M y sea i : P → M el mapa inyectivo natural . Entonces P es un submódulo puro de M si, para cualquier módulo R (derecho) X , el id del mapa inducido natural X ⊗ i : X ⊗ P → X ⊗ M (donde los productos del tensor de on se toman sobre R ) es inyectivo.
de (izquierda) R -modules es puramente exacta si la secuencia permanece exacta cuando se tensa con cualquier R -módulo X (derecha) . Esto es equivalente a decir que f ( A ) es un submódulo pura de B .
La pureza de un submódulo también se puede expresar por elementos; es realmente una afirmación sobre la solubilidad de ciertos sistemas de ecuaciones lineales. Específicamente, P es puro en M si y solo si se cumple la siguiente condición: para cualquier matriz m -por- n ( a ij ) con entradas en R , y cualquier conjunto y 1 , ..., y m de elementos de P , si existen elementos x 1 , ..., x n en M tales que
Otra caracterización es: una secuencia es pura exacta si y solo si es el colimit filtrado (también conocido como límite directo ) de las secuencias exactas divididas
Si es puro-exacto, y F es un módulo R finitamente presentado , entonces cada homomorfismo de F a C puede elevarse a B , es decir, a cada u : F → C existe v : F → B tal que gv = u .
