En matemáticas , una secuencia exacta dividida es una secuencia exacta corta en la que el término medio se construye a partir de los dos términos externos de la manera más simple posible.
Caracterizaciones equivalentes
Una breve secuencia exacta de grupos abelianos o de módulos sobre un anillo fijo , o más generalmente de objetos en una categoría abeliana.
se llama dividido exacto si es isomorfo a la secuencia donde el término medio es la suma directa de los externos:
El requisito de que la secuencia sea isomorfa significa que hay un isomorfismo tal que el compuesto es la inclusión natural y tal que el compuesto es igual a b . Esto se puede resumir mediante un diagrama conmutativo como:
El lema de división proporciona caracterizaciones equivalentes adicionales de secuencias exactas divididas.
Ejemplos de
Un ejemplo trivial de una secuencia exacta corta dividida es
dónde son módulos R, es la inyección canónica y es la proyección canónica.
Cualquier secuencia corta exacta de espacios vectoriales se divide exactamente. Esta es una reformulación del hecho de que cualquier conjunto de vectores linealmente independientes en un espacio vectorial puede extenderse a una base .
La secuencia exacta (donde el primer mapa es una multiplicación por 2) no se divide exactamente.
Nociones relacionadas
Las secuencias exactas puras se pueden caracterizar como los colimites filtrados de secuencias exactas divididas. [1]
Referencias
- ↑ Fuchs (2015 , Capítulo 5, Teo. 3.4)
Fuentes
- Fuchs, László (2015), Abelian Groups , Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN 9783319194226
- Sharp, RY, Rodney (2001), Pasos en álgebra conmutativa, 2ª ed. , Textos de estudiantes de la Sociedad Matemática de Londres, Cambridge University Press, ISBN 0521646235