En matemáticas , las álgebras de Jordan cuadráticas son una generalización de las álgebras de Jordan introducidas por Kevin McCrimmon ( 1966 ). Las identidades fundamentales de la representación cuadrática de un álgebra de Jordan lineal se utilizan como axiomas para definir un álgebra de Jordan cuadrática sobre un campo de características arbitrarias. Existe una descripción uniforme de las álgebras de Jordan cuadráticas simples de dimensión finita, independiente de la característica. Si 2 es invertible en el campo de los coeficientes, la teoría de las álgebras cuadráticas de Jordan se reduce a la de las álgebras lineales de Jordan.
Definición
Un álgebra de Jordan cuadrática consiste en un espacio vectorial A sobre un campo K con un elemento distinguido 1 y un mapa cuadrático de A en los K -endomorfismos de A , a ↦ Q ( a ), satisfaciendo las condiciones:
- Q (1) = id ;
- Q ( Q ( a ) b ) = Q ( a ) Q ( b ) Q ( a ) ("identidad fundamental");
- Q ( a ) R ( b , a ) = R ( a , b ) Q ( a ) ("identidad de conmutación"), donde R ( a , b ) c = ( Q ( a + c ) - Q ( a ) - Q ( c )) b .
Además, se requiere que estas propiedades se mantengan bajo cualquier extensión de escalares . [1]
Elementos
Un elemento a es invertible si Q ( a ) es invertible y existe un b tal que Q ( b ) es el inverso de Q ( a ) y Q ( a ) b = a : tal b es único y decimos que b es el inverso de a . Un álgebra de división de Jordan es aquella en la que cada elemento distinto de cero es invertible. [2]
Estructura
Deje que B sea un subespacio de A . Defina B como un ideal cuadrático [3] o un ideal interno si la imagen de Q ( b ) está contenida en B para todo b en B ; definir B para ser un ideales exterior si B es mapeado en sí mismo por cada Q ( un ) para todos una en una . Un ideal de A es un subespacio que es tanto un ideal interior como exterior. [1] Un álgebra de Jordan cuadrática es simple si no contiene ideales no triviales. [2]
Para dado b , la imagen de Q ( b ) es un ideal interno: llamamos a esto el principal ideal interno en b . [2] [4]
El centroide Γ de A es el subconjunto del extremo K ( A ) que consta de endomorfismos T que "conmutan" con Q en el sentido de que para todo un
- T Q ( a ) = Q ( a ) T ;
- Q ( Ta ) = Q ( a ) T 2 .
El centro de gravedad de un simple álgebra es un campo: Una es el centro si su centro de gravedad es simplemente K . [5]
Ejemplos de
Álgebra cuadrática de Jordan a partir de un álgebra asociativa
Si A es un álgebra asociativa unital sobre K con multiplicación ×, entonces se puede definir un mapa cuadrático Q desde A hasta el final K ( A ) por Q ( a ): b ↦ a × b × a . Esto define una estructura de álgebra Jordan cuadrática en A . Un álgebra de Jordan cuadrática es especial si es isomórfica a una subálgebra de dicho álgebra, por lo demás excepcional . [2]
Álgebra cuadrática de Jordan a partir de una forma cuadrática
Sea A un espacio vectorial sobre K con una forma cuadrática q y una forma bilineal simétrica asociada q ( x , y ) = q ( x + y ) - q ( x ) - q ( y ). Sea e un "punto base" de A , es decir, un elemento con q ( e ) = 1. Defina una función lineal T ( y ) = q ( y , e ) y una "reflexión" y ∗ = T ( y ) e - y . Para cada x definimos Q ( x ) por
- Q ( x ): y ↦ q ( x , y ∗ ) x - q ( x ) y ∗ .
Entonces Q define un álgebra de Jordan cuadrática en A . [6] [7]
Álgebra de Jordan cuadrática a partir de un álgebra de Jordan lineal
Sea A un álgebra de Jordan unital sobre un campo K de característica no igual a 2. Para a en A , denote L el mapa de multiplicación de la izquierda en el álgebra envolvente asociativa
y definir un K -endomorfismo de A , llamado representación cuadrática , por
Entonces Q define un álgebra de Jordan cuadrática.
Álgebra de Jordan cuadrática definida por un álgebra de Jordan lineal
Las identidades cuadráticas se pueden demostrar en un álgebra de Jordan de dimensión finita sobre R o C siguiendo a Max Koecher , quien usó un elemento invertible. También son fáciles de probar en un álgebra de Jordan definida por un álgebra asociativa unital (un álgebra de Jordan "especial") ya que en ese caso Q ( a ) b = aba . [8] Son válidos en cualquier álgebra de Jordan sobre un campo de característica no igual a 2. Esto fue conjeturado por Jacobson y demostrado en Macdonald (1960) : Macdonald mostró que si una identidad polinomial en tres variables, lineal en la tercera, es válido en cualquier álgebra de Jordan especial, entonces se mantiene en todas las álgebras de Jordan. [9] En Jacobson (1969 , págs. 19-21) se da una demostración elemental, debida a McCrimmon y Meyberg, para álgebras de Jordan sobre un campo de característica no igual a 2.
Prueba de Koecher
Los argumentos de Koecher se aplican a las álgebras de Jordan de dimensión finita sobre los números reales o complejos. [10]
Identidad fundamental I
Un elemento a en A se llama invertible si es invertible en R [ a ] o C [ a ]. Si b denota la inversa, entonces la asociatividad de potencia de a muestra que L ( a ) y L ( b ) conmutan.
De hecho, a es invertible si y solo si Q ( a ) es invertible. En ese caso
De hecho, si Q ( a ) es invertible, lleva a R [ a ] sobre sí mismo. Por otro lado, Q ( a ) 1 = a 2 , entonces
La identidad de Jordania
se puede polarizar reemplazando a por a + tc y tomando el coeficiente de t . Reescribiendo esto como un operador aplicado a c produce
Tomando b = a −1 en esta identidad de Jordan polarizada se obtiene
Reemplazando a por su inverso, la relación sigue si L ( a ) y L ( a −1 ) son invertibles. De lo contrario, es válido para a + ε1 con ε arbitrariamente pequeño y, por lo tanto, también en el límite.
- La representación cuadrática satisface la siguiente identidad fundamental:
Para c en A y F ( a ) una función en A con valores en el extremo A , sea D c F ( a ) la derivada en t = 0 de F ( a + tc ). Luego
donde Q ( a , b ) si la polarización de Q
Dado que L ( a ) conmuta con L ( a −1 )
Por eso
así que eso
Aplicando D c a L ( a −1 ) Q ( a ) = L ( a ) y actuando sobre b = c −1 se obtiene
Por otro lado, L ( Q ( a ) b ) es invertible en un conjunto denso abierto donde Q ( a ) b también debe ser invertible con
Tomando la derivada D c en la variable b en la expresión anterior da
Esto produce la identidad fundamental para un conjunto denso de elementos invertibles, por lo que se sigue en general por continuidad. La identidad fundamental implica que c = Q ( un ) b es invertible si un y b son invertible y da una fórmula para la inversa de Q ( c ). Aplicarlo ac da la identidad inversa en total generalidad.
Identidad de conmutación I
Como se muestra arriba, si a es invertible,
Tomando D c con a como variable da
Reemplazando a por a −1 da, aplicando Q ( a ) y usando la identidad fundamental da
Por eso
Intercambiando b y c da
Por otro lado, R ( x , y ) está definido por R ( x , y ) z = 2 Q ( x , z ) y , por lo que esto implica
de modo que para un invertible y, por tanto, por continuidad para todo un
Prueba de Mccrimmon-Meyberg
Identidad de conmutación II
La identidad de Jordan a ( a 2 b ) = a 2 ( ab ) se puede polarizar reemplazando a por a + tc y tomando el coeficiente de t . Esto da [11]
En notación de operador, esto implica
Polarizando en una espalda da
Escrito como operadores que actúan sobre d , esto da
Sustitución de c por b y b por un da
Además, dado que el lado derecho es simétrica en b y ' c , intercambiando b y c de la izquierda y de sustracción, se deduce que los conmutadores [ L ( b ), L ( c )] son derivaciones de la álgebra de Jordan.
Dejar
Entonces Q ( a ) conmuta con L ( a ) por la identidad de Jordan.
De las definiciones si Q ( a , b ) = ½ ( Q ( a = b ) - Q ( a ) - Q ( b )) es el mapeo bilineal simétrico asociado, entonces Q ( a , a ) = Q ( a ) y
es más
En efecto
- 2 Q ( ab , a ) - L ( b ) Q ( a ) - Q ( a ) L ( b ) = 2 L ( ab ) L ( a ) + 2 L ( a ) L ( ab ) - 2 L ( a ( ab )) - 2 L ( a ) 2 L ( b ) - 2 L ( b ) L ( a ) 2 + L ( a 2 ) L ( b ) + L ( b ) L ( a 2 ).
Por la segunda y primera identidades jordanas polarizadas, esto implica
- 2 Q ( ab , a ) - L ( b ) Q ( a ) - Q ( a ) L ( b ) = 2 [ L ( a ), L ( ab )] + [ L ( b ), L ( a 2 ) ] = 0.
La versión polarizada de [ Q ( a ), L ( a )] = 0 es
Ahora, con R ( a , b ) = 2 [ L ( a ), L ( b )] + 2 L ( ab ) , se sigue que
Entonces, por la última identidad con ab en lugar de b, esto implica la identidad de conmutación:
La identidad Q ( a ) R ( b , a ) = R ( a , b ) Q ( a ) se puede fortalecer para
De hecho, aplicado ac , los dos primeros términos dan
Conmutación b y c da entonces
Identidad fundamental II
La identidad Q ( Q ( a ) b ) = Q ( a ) Q ( b ) Q ( a ) se demuestra utilizando las relaciones entre corchetes de Lie [12]
De hecho, la polarización en c de la identidad Q ( c ) L ( x ) + L ( x ) Q ( c ) = 2 Q ( cx , c ) da
Aplicando ambos lados ad , esto muestra que
En particular, estas ecuaciones son válidas para x = ab . Por otro lado, si T = [ L ( a ), L ( b )] entonces D ( z ) = Tz es una derivación del álgebra de Jordan, de modo que
Las relaciones entre corchetes de Lie se siguen porque R ( a , b ) = T + L ( ab ).
Dado que el soporte de Lie en el lado izquierdo es antisimétrico,
Como consecuencia
De hecho, establezca a = y , b = x , c = z , d = x y haga que ambos lados actúen sobre y .
Por otro lado
De hecho, esto se sigue estableciendo x = Q ( a ) b en
Por lo tanto, combinando estas ecuaciones con la identidad de conmutación reforzada,
Álgebra de Jordan lineal definida por un álgebra de Jordan cuadrática
Deje A un álgebra de Jordan cuadrática sobre R o C . Siguiendo a Jacobson (1969) , una estructura lineal de álgebra de Jordan se puede asociar con A tal que, si L ( a ) es una multiplicación de Jordan, entonces la estructura cuadrática viene dada por Q ( a ) = 2 L ( a ) 2 - L ( a 2 ).
En primer lugar, el axioma Q ( a ) R ( b , a ) = R ( a , b ) Q ( a ) puede reforzarse para
De hecho, aplicado ac , los dos primeros términos dan
Conmutación b y c da entonces
Ahora deja
Sustitución de b por una y una por 1 en la identidad anterior da
En particular
Si además a es invertible entonces
Del mismo modo, si ' b es invertible
El producto Jordan viene dado por
así que eso
La fórmula anterior muestra que 1 es una identidad. Definiendo a 2 por a ∘ a = Q ( a ) 1, la única condición que queda por verificar es la identidad de Jordan
En la identidad fundamental
Reemplaza a por a + t , establece b = 1 y compara los coeficientes de t 2 en ambos lados:
Establecer b = 1 en el segundo axioma da
y por lo tanto L ( a ) debe conmutar con L ( a 2 ).
Cambio de identidad
En un álgebra de Jordan lineal unital, la identidad de cambio afirma que
Siguiendo a Meyberg (1972) , se puede establecer como consecuencia directa de formas polarizadas de la identidad fundamental y la identidad de conmutación u homotopía. También es una consecuencia del teorema de Macdonald, ya que es una identidad de operador que involucra solo dos variables. [13]
Para a en un álgebra de Jordan lineal unital A, la representación cuadrática está dada por
por lo que el mapeo bilineal simétrico correspondiente es
Los otros operadores vienen dados por la fórmula
así que eso
La identidad de conmutación u homotopía
se puede polarizar en a . Reemplazando a por a + t 1 y tomando el coeficiente de t da
La identidad fundamental
se puede polarizar en a . Sustitución de un por un + t 1 y teniendo los coeficientes de t da (intercambiando una y b )
La combinación de las dos identidades mostradas anteriormente da como resultado
Reemplazando a por a + t 1 en la identidad fundamental y tomando el coeficiente de t 2 da
Dado que el lado derecho es simétrico, esto implica
Estas identidades se pueden utilizar para probar la identidad del cambio:
Es equivalente a la identidad
Por la identidad mostrada anteriormente, esto es equivalente a
Por otro lado, los términos entre corchetes se pueden simplificar mediante la tercera identidad mostrada. Implica que ambos lados son iguales a ½ L ( a ) R ( b , a ) L ( b ) .
Para álgebras de Jordan unitales de dimensión finita, la identidad de cambio se puede ver más directamente usando mutaciones . [14] Vamos a y b sea invertible, y sea L B ( un ) = R ( un , b ) sea la multiplicación Jordan en A b . Entonces Q ( b ) L b ( a ) = L a ( b ) Q ( b ) . Además Q ( b ) Q b ( a ) = Q ( b ) Q ( a ) Q ( b ) = Q a ( b ) Q ( b ) . Por otro lado Q b ( un ) = 2 L b ( un ) 2 - L b ( un 2, b ) y de manera similar con un y b intercambiado. Por eso
Por lo tanto
por lo que la identidad de cambio sigue cancelando Q ( b ). Un argumento de densidad permite descartar el supuesto de invertibilidad.
Pares de Jordan
Un álgebra de Jordan unital lineal da lugar a un mapeo cuadrático Q y un mapeo asociado R que satisface la identidad fundamental, la conmutación de la identidad de homotopía y la identidad de cambio. Un par de Jordan ( V + , V - ) consta de dos espacios vectoriales V ± y dos asignaciones cuadráticas Q ± de V ± a V ∓ . Estos determinan mapeos bilineales R ± de V ± × V ∓ a V ± por la fórmula R ( a , b ) c = 2 Q ( a , c ) b donde 2 Q ( a , c ) = Q ( a + c ) - Q ( a ) - Q ( c ) . Omitiendo ± subíndices, estos deben satisfacer [15]
la identidad fundamental
la conmutación u homotopía identidad
y el cambio de identidad
A unital Jordan álgebra A define un par Jordan tomando V ± = A con su estructura cuadrática mapas Q y R .
Ver también
Notas
- ↑ a b Racine , 1973 , p. 1
- ↑ a b c d Racine , 1973 , p. 2
- ^ Jacobson 1968 , p. 153
- ^ Jacobson 1968 , p. 154
- ^ Racine 1973 , p. 3
- ^ Jacobson 1968 , p. 35
- ^ Racine 1973 , págs. 5-6
- ^ Ver:
- Koecher 1999 , págs. 72–76
- Faraut y Koranyi , págs. 32–34
- ^ Ver:
- Jacobson 1968 , págs. 40–47,52
- ^ Ver:
- Koecher 1999
- Faraut y Koranyi 1994 , págs. 32–35
- ^ Meyberg 1972 , págs. 66–67
- ^ Meyberg 1972
- ^ Ver:
- Meyberg 1972 , págs. 85–86
- McCrimmon 2004 , págs. 202–203
- ^ Koecher 1999
- ^ Loos 1975
Referencias
- Faraut, J .; Koranyi, A. (1994), Análisis de conos simétricos , Monografías matemáticas de Oxford, Oxford University Press, ISBN 0198534779
- Jacobson, N. (1968), Estructura y representaciones de las álgebras de Jordan , Publicaciones del coloquio de la American Mathematical Society, 39 , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4640-7Mantenimiento CS1: fecha y año ( enlace )
- Jacobson, N. (1969), Conferencias sobre álgebras cuadráticas de Jordan (PDF) , Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics, 45 , Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, MR 0325715
- Koecher, M. (1999), The Minnesota Notes on Jordan Algebras and Their Applications , Lecture Notes in Mathematics, 1710 , Springer, ISBN 3-540-66360-6, Zbl 1072.17513
- Loos, Ottmar (2006) [1975], pares de Jordan , Lecture Notes in Mathematics, 460 , Springer, ISBN 978-3-540-37499-2
- Loos, Ottmar (1977), Dominios simétricos delimitados y pares de Jordan (PDF) , Conferencias de matemáticas, Universidad de California, Irvine, archivado desde el original (PDF) el 03/03/2016
- Macdonald, IG (1960), "Álgebras de Jordan con tres generadores" , Proc. London Math. Soc. , 10 : 395–408, doi : 10.1112 / plms / s3-10.1.395 , archivado desde el original el 15 de junio de 2013
- McCrimmon, Kevin (1966), "Una teoría general de los anillos de Jordan", Proc. Natl. Acad. Sci. EE . UU. , 56 (4): 1072–9, doi : 10.1073 / pnas.56.4.1072 , JSTOR 57792 , MR 0202783 , PMC 220000 , PMID 16591377 , Zbl 0139.25502
- McCrimmon, Kevin (1975), "Métodos cuadráticos en álgebras no asociativas" (PDF) , Actas del Congreso Internacional de Matemáticos (Vancouver, BC, 1974), vol. 1 , págs. 325–330
- McCrimmon, Kevin (2004), Una muestra de las álgebras de Jordan , Universitext, Springer-Verlag , doi : 10.1007 / b97489 , ISBN 978-0-387-95447-9, Señor 2014924 , Zbl 1044.17001 , Fe de erratas
- McCrimmon, Kevin (1978), "Álgebras de Jordan y sus aplicaciones" , Bull. Amer. Matemáticas. Soc. , 84 (4): 612–627, doi : 10.1090 / s0002-9904-1978-14503-0
- Meyberg, K. (1972), Conferencias sobre álgebras y sistemas triples (PDF) , Universidad de Virginia
- Racine, Michel L. (1973), La aritmética de las álgebras cuadráticas de Jordan , Memorias de la American Mathematical Society, 136 , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1836-7, Zbl 0348.17009
Otras lecturas
- Faulkner, John R. (1970), Octonion Planes Defined by Quadratic Jordan Algebras , Memoirs of the American Mathematical Society, 104 , American Mathematical Society , ISBN 0-8218-5888-2, Zbl 0206.23301