En matemáticas , en particular en álgebra , la polarización es una técnica para expresar un polinomio homogéneo de una manera más simple al unir más variables. Específicamente, dado un polinomio homogéneo, la polarización produce una forma multilineal a partir de la cual se puede recuperar el polinomio original evaluando a lo largo de una cierta diagonal.
Aunque la técnica es engañosamente simple, tiene aplicaciones en muchas áreas de las matemáticas abstractas: en particular, a la geometría algebraica , la teoría invariante y la teoría de la representación . La polarización y las técnicas relacionadas forman la base de la teoría invariante de Weyl .
La técnica
Las ideas fundamentales son las siguientes. Sea f ( u ) un polinomio en n variables u = ( u 1 , u 2 , ..., u n ). Suponga que f es homogénea de grado d , lo que significa que
- f ( t u ) = t d f ( u ) para todo t .
Sea u (1) , u (2) , ..., u ( d ) una colección de indeterminados con u ( i ) = ( u 1 ( i ) , u 2 ( i ) , ..., u n ( i ) ), por lo que hay dn variables en total. La forma polar de f es un polinomio
- F ( u (1) , u (2) , ..., u ( d ) )
que es lineal por separado en cada u ( i ) (es decir, F es multilineal), simétrica en la u ( i ) , y tal que
- F ( u , u , ..., u ) = f ( u ).
La forma polar de f viene dada por la siguiente construcción
En otras palabras, F es un múltiplo constante del coeficiente de λ 1 λ 2 ... λ d en la expansión de f ( λ 1 u (1) + ... + λ d u ( d ) ).
Ejemplos de
- Suponga que x = ( x , y ) yf ( x ) es la forma cuadrática
Entonces la polarización de f es una función en x (1) = ( x (1) , y (1) ) y x (2) = ( x (2) , y (2) ) dada por
- De manera más general, si f es cualquier forma cuadrática, entonces la polarización de f concuerda con la conclusión de la identidad de polarización .
- Un ejemplo cúbico. Sea f ( x , y ) = x 3 + 2 xy 2 . Entonces la polarización de f está dada por
Detalles y consecuencias matemáticas
La polarización de un polinomio homogéneo de grado d es válida sobre cualquier anillo conmutativo en el que d ! es una unidad. En particular, se mantiene sobre cualquier campo de característica cero o cuya característica sea estrictamente mayor que d .
El isomorfismo de polarización (por grado)
Para simplificar, sea k un campo de característica cero y sea A = k [ x ] el anillo polinómico en n variables sobre k . Entonces A se clasifica por grado , de modo que
La polarización de formas algebraicas induce entonces un isomorfismo de espacios vectoriales en cada grado.
donde Sym d es la d -ésima potencia simétrica del espacio n -dimensional k n .
Estos isomorfismos se pueden expresar independientemente de una base como sigue. Si V es un espacio vectorial de dimensión finita y A es el anillo de funciones polinomiales con valor k en V , clasificadas por grado homogéneo, entonces la polarización produce un isomorfismo
El isomorfismo algebraico
Además, la polarización es compatible con la estructura algebraica en A , de modo que
donde Sym ⋅ V ∗ es el álgebra simétrica completa sobre V ∗ .
Observaciones
- Para campos de característica positiva p , los isomorfismos anteriores se aplican si las álgebras graduadas están truncadas en el grado p - 1 .
- Existen generalizaciones cuando V es un espacio vectorial topológico de dimensión infinita .
Referencias
- Claudio Procesi (2007) Grupos de mentiras: una aproximación a través de invariantes y representaciones , Springer, ISBN 9780387260402 .