En matemáticas , un diferencial cuadrático en una superficie de Riemann es una sección del cuadrado simétrico del paquete cotangente holomórfico . Si la sección es holomórfica , entonces se dice que la diferencial cuadrática es holomórfica. El espacio vectorial de diferenciales cuadráticos holomórficos en una superficie de Riemann tiene una interpretación natural como el espacio cotangente al espacio de módulos de Riemann, o espacio de Teichmüller .
Forma local
Cada diferencial cuadrático en un dominio en el plano complejo puede escribirse como, dónde es la variable compleja, y es una función de valor complejo en . Tal diferencial cuadrático "local" es holomórfico si y sólo sies holomórfico . Dado un gráfico para una superficie general de Riemann y una diferencial cuadrática en , el retroceso define una diferencial cuadrática en un dominio en el plano complejo.
Relación con diferenciales abelianos
Si es un diferencial abeliano en una superficie de Riemann, entonces es una diferencial cuadrática.
Estructura singular euclidiana
Un diferencial cuadrático holomórfico determina una métrica de Riemann sobre el complemento de sus ceros. Si se define en un dominio en el plano complejo, y , entonces la métrica de Riemannian asociada es , dónde . Desdees holomórfica, la curvatura de esta métrica es cero. Por lo tanto, un diferencial cuadrático holomórfico define una métrica plana en el complemento del conjunto de tal que .
Referencias
- Kurt Strebel, diferenciales cuadráticos . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 5. Springer-Verlag, Berlín, 1984. xii + 184 págs. ISBN 3-540-13035-7 .
- Y. Imayoshi y M. Taniguchi, M. Introducción a los espacios de Teichmüller . Traducido y revisado de la versión japonesa por los autores. Springer-Verlag, Tokio, 1992. xiv + 279 págs. ISBN 4-431-70088-9 .
- Frederick P. Gardiner, Teoría de Teichmüller y diferenciales cuadráticos . Wiley-Interscience, Nueva York, 1987. xvii + 236 págs. ISBN 0-471-84539-6 .