En matemáticas , un problema propio no lineal , a veces un problema de valor propio no lineal , es una generalización del problema de valor propio (ordinario) a ecuaciones que dependen de forma no lineal del valor propio. Específicamente, se refiere a ecuaciones de la forma
dónde es un vector , yes una matriz -valued función del número. El númerose conoce como el valor propio (no lineal) , el vectorcomo el vector propio (no lineal) , ycomo el par propio . La matriz es singular en un valor propio .
Definición
En la disciplina del álgebra lineal numérica se usa típicamente la siguiente definición. [1] [2] [3] [4]
Dejar , y deja ser una función que mapea escalares a matrices. Un escalarse llama valor propio , y un vector distinto de cerose llama autovector derecho si. Además, un vector distinto de cerose llama autovector izquierdo si, donde el superíndice denota la transposición hermitiana . La definición del valor propio es equivalente a, dónde denota el determinante . [1]
La función generalmente se requiere que sea una función holomórfica de(en algún dominio ).
En general, podría ser un mapa lineal , pero más comúnmente es una matriz de dimensión finita, generalmente cuadrada.
Definición: Se dice que el problema es regular si existe un tal que . De lo contrario, se dice que es singular . [1] [4]
Definición: un valor propiose dice que tiene multiplicidad algebraica Si es el número entero más pequeño tal que el th derivada de con respecto a , en es distinto de cero. En fórmulas que pero por . [1] [4]
Definición: La multiplicidad geométrica de un valor propioes la dimensión del espacio nulo de. [1] [4]
Casos especiales
Los siguientes ejemplos son casos especiales del problema propio no lineal.
- El problema del valor propio (ordinario) :
- El problema de los valores propios generalizados :
- El problema de los valores propios cuadráticos :
- El problema de los valores propios del polinomio:
- El problema del valor propio racional: dónde son funciones racionales .
- El problema del valor propio de retraso : dónde se les dan escalares, conocidos como retrasos.
Cadenas de Jordan
Definición: Letser un par propio. Una tupla de vectoresse llama cadena Jordan si
Teorema: [1] Una tupla de vectores es una cadena de Jordan si y solo si la función tiene una raíz eny la raíz es de multiplicidad al menos por , donde la función de valor vectorial Se define como
No linealidad de vectores propios
Las no linealidades de vectores propios es una forma relacionada, pero diferente, de no linealidad que a veces se estudia. En este caso la funciónmapea vectores a matrices, o algunas veces matrices hermitianas a matrices hermitianas. [5] [6]
Referencias
- ^ a b c d e f g Güttel, Stefan; Tisseur, Françoise (2017). "El problema de los valores propios no lineales" (PDF) . Acta Numerica . 26 : 1-94. doi : 10.1017 / S0962492917000034 . ISSN 0962-4929 . S2CID 46749298 .
- ^ Ruhe, Axel (1973). "Algoritmos para el problema de valores propios no lineales" . Revista SIAM de Análisis Numérico . 10 (4): 674–689. doi : 10.1137 / 0710059 . ISSN 0036-1429 . JSTOR 2156278 .
- ^ Mehrmann, Volker ; Voss, Heinrich (2004). "Problemas de valores propios no lineales: un desafío para los métodos modernos de valores propios" . GAMM-Mitteilungen . 27 (2): 121-152. doi : 10.1002 / gamm.201490007 . ISSN 1522-2608 .
- ^ a b c d e Voss, Heinrich (2014). "Problemas de valores propios no lineales" (PDF) . En Hogben, Leslie (ed.). Manual de álgebra lineal (2 ed.). Boca Raton, FL: Chapman y Hall / CRC. ISBN 9781466507289.
- ^ Jarlebring, Elias; Kvaal, Simen; Michiels, Wim (1 de enero de 2014). "Un método de iteración inversa para problemas de valores propios con no linealidades de vectores propios" . Revista SIAM de Computación Científica . 36 (4): A1978 – A2001. arXiv : 1212.0417 . doi : 10.1137 / 130910014 . ISSN 1064-8275 . S2CID 16959079 .
- ^ Upadhyaya, Parikshit; Jarlebring, Elias; Rubensson, Emanuel H. (2021). "Un enfoque de matriz de densidad para la convergencia de la iteración de campo autoconsistente" . Álgebra numérica, control y optimización . 11 (1): 99. doi : 10.3934 / naco.2020018 . ISSN 2155-3297 .
Otras lecturas
- Françoise Tisseur y Karl Meerbergen, "El problema de los valores propios cuadráticos", SIAM Review 43 (2), 235-286 (2001) ( enlace ).
- Gene H. Golub y Henk A. van der Vorst, "Cálculo de valores propios en el siglo XX", Journal of Computational and Applied Mathematics 123 , 35–65 (2000).
- Philippe Guillaume, "Problemas propios no lineales", SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 20 (3), 575–595 (1999) ( enlace ).
- Cedric Effenberger, " Métodos de solución robustos para problemas de valores propios no lineales ", Tesis de doctorado EPFL (2013) ( enlace )
- Roel Van Beeumen, " Métodos racionales de Krylov para problemas de valores propios no lineales ", tesis doctoral KU Leuven (2015) ( enlace )