En la teoría algebraica de números , un campo cuadrático es un campo de números algebraicos de grado dos sobre Q , los números racionales .
Cada campo cuadrático de este tipo es algo Q ( √ d ) donde d es un número entero libre de cuadrados (definido de forma única) diferente de 0 y 1 . Si d > 0 , el campo cuadrático correspondiente se llama campo cuadrático real , y para d <0 un campo cuadrático imaginario o campo cuadrático complejo , correspondiente a si es o no un subcampo del campo de los números reales .
Los campos cuadráticos se han estudiado en profundidad, inicialmente como parte de la teoría de formas cuadráticas binarias . Quedan algunos problemas sin resolver. El problema del número de clase es particularmente importante.
Para un número entero libre cuadrado distinto de cero d , el discriminante del campo cuadrático K = Q ( √ d ) es d si d es congruente con 1 módulo 4, y en caso contrario con 4 d . Por ejemplo, si d es -1, entonces K es el campo de los racionales gaussianos y el discriminante es -4. La razón de tal distinción es que el anillo de números enteros de K se genera por 1 ⁄ 2 (1+ √ d ) en el primer caso, pero por √ d en el segundo caso.
Cualquier número primo p da lugar a un ideal pO K en el anillo de los enteros O K de un campo cuadrática K . De acuerdo con la teoría general de la división de los ideales primarios en las extensiones de Galois , esto puede ser [1]
El tercer caso ocurre si y sólo si p divide el discriminante D . El primer y segundo caso ocurren cuando el símbolo de Kronecker ( D / p ) es igual a -1 y +1, respectivamente. Por ejemplo, si p es un número primo impar que no divide a D , entonces p se divide si y solo si D es congruente con un cuadrado módulo p . En cierto sentido, los dos primeros casos tienen la misma probabilidad de ocurrir cuando p pasa por los números primos, véase el teorema de densidad de Chebotarev . [2]