En matemáticas , un número racional gaussiano es un número complejo de la forma p + qi , donde p y q son números racionales . El conjunto de todos los racionales gaussianos forma el campo racional gaussiano , denotado Q ( i ), obtenido al unir el número imaginario i al campo de los racionales.
Propiedades del campo
El campo de los racionales gaussianos proporciona un ejemplo de un campo numérico algebraico , que es tanto un campo cuadrático como un campo ciclotómico (ya que i es la cuarta raíz de la unidad ). Como todos los campos cuadráticos, es una extensión de Galois de Q con un grupo de Galois cíclico de orden dos, en este caso generado por conjugación compleja , y por lo tanto es una extensión abeliana de Q , con conductor 4. [1]
Como ocurre con los campos ciclotómicos en general, el campo de los racionales gaussianos no está ordenado ni completo (como un espacio métrico). Los enteros gaussianos Z [ i ] forman el anillo de enteros de Q ( i ). El conjunto de todos los racionales gaussianos es numerablemente infinito .
Esferas Ford
El concepto de círculos de Ford se puede generalizar desde los números racionales a los racionales gaussianos, dando esferas de Ford. En esta construcción, los números complejos están incrustados como un plano en un espacio euclidiano tridimensional , y para cada punto racional gaussiano en este plano se construye una esfera tangente al plano en ese punto. Para un racional gaussiano representado en términos mínimos como, el radio de esta esfera debe ser dónde representa el complejo conjugado de. Las esferas resultantes son tangentes para pares de racionales gaussianos y con y, de lo contrario, no se cruzan entre sí. [2] [3]
Referencias
- ^ Ian Stewart , David O. Tall , Teoría algebraica de números , Chapman y Hall , 1979, ISBN 0-412-13840-9 . Capítulo 3.
- ^ Pickover, Clifford A. (2001), "Capítulo 103. Belleza y números racionales gaussianos", Maravillas de los números: Aventuras en matemáticas, mente y significado , Oxford University Press, págs. 243–246, ISBN 9780195348002.
- ^ Northshield, Sam (2015), círculos y esferas de Ford , arXiv : 1503.00813 , código Bib : 2015arXiv150300813N.