En matemáticas , una forma cuadrática binaria es un polinomio cuadrático homogéneo en dos variables
donde a , b , c son los coeficientes . Cuando los coeficientes pueden ser números complejos arbitrarios , la mayoría de los resultados no son específicos del caso de dos variables, por lo que se describen en forma cuadrática . Una forma cuadrática con coeficientes enteros se llama forma cuadrática binaria integral , a menudo abreviada como forma cuadrática binaria .
Este artículo está completamente dedicado a las formas cuadráticas binarias integrales. Esta elección está motivada por su estatus como la fuerza impulsora detrás del desarrollo de la teoría algebraica de números . Desde finales del siglo XIX, las formas cuadráticas binarias han renunciado a su preeminencia en la teoría algebraica de números a cuadráticas y más generales campos de números , pero los avances específicos de las formas cuadráticas binarias se siguen produciendo en la ocasión.
Pierre Fermat afirmó que si p es un primo impar, entonces la ecuación tiene una solución si , e hizo una declaración similar sobre las ecuaciones , , y . y así sucesivamente son formas cuadráticas, y la teoría de las formas cuadráticas proporciona una forma unificada de ver y probar estos teoremas.
Otro ejemplo de formas cuadráticas es la ecuación de Pell .
Las formas cuadráticas binarias están estrechamente relacionadas con los ideales en campos cuadráticos, esto permite calcular el número de clase de un campo cuadrático contando el número de formas cuadráticas binarias reducidas de un discriminante dado.
La función theta clásica de 2 variables es , Si es una forma cuadrática definida positiva entonces es una función theta.
Equivalencia
Dos formas f y g son llamados equivalente si existen enteros de manera que se cumplan las siguientes condiciones:
Por ejemplo, con y , , , y , encontramos que f es equivalente a, que simplifica a .
Las condiciones de equivalencia anteriores definen una relación de equivalencia en el conjunto de formas cuadráticas integrales. De ello se deduce que las formas cuadráticas se dividen en clases de equivalencia, llamadas clases de formas cuadráticas. Un invariante de clase puede significar una función definida en clases de equivalencia de formas o una propiedad compartida por todas las formas de la misma clase.
Lagrange utilizó una noción diferente de equivalencia, en la que la segunda condición se reemplaza por . Desde Gauss se ha reconocido que esta definición es inferior a la dada anteriormente. Si hay una necesidad de distinguir, a veces las formas se llaman apropiadamente equivalentes usando la definición anterior e incorrectamente equivalentes si son equivalentes en el sentido de Lagrange.
En terminología matricial , que se utiliza ocasionalmente a continuación, cuando
tiene entradas enteras y determinante 1, el mapa es una acción de grupo (derecha) deen el conjunto de formas cuadráticas binarias. La relación de equivalencia anterior surge entonces de la teoría general de acciones grupales.
Si , entonces los invariantes importantes incluyen
- El discriminante .
- El contenido, igual al máximo común divisor de un , b , y c .
Ha surgido la terminología para clasificar clases y sus formas en términos de sus invariantes. Una forma de discriminantees definitivo si, degenerar sies un cuadrado perfecto e indefinido en caso contrario. Una forma es primitiva si su contenido es 1, es decir, si sus coeficientes son coprime. Si el discriminante de una forma es un discriminante fundamental , entonces la forma es primitiva. [1] Los discriminantes satisfacen
Automorfismos
Si f es una forma cuadrática, una matriz
en es un automorfismo de f si. Por ejemplo, la matriz
es un automorfismo de la forma . Los automorfismos de una forma forman un subgrupo de. Cuando f es definido, el grupo es finito, y cuando f es indefinido, es infinito y cíclico .
Representaciones
Decimos que una forma cuadrática binaria representa un entero si es posible encontrar enteros y satisfaciendo la ecuación Tal ecuación es una representación de n por f .
Ejemplos de
Diofanto consideró si, para un número entero impar, es posible encontrar enteros y para cual . [2] Cuando, tenemos
entonces encontramos parejas que hacen el truco. Obtenemos más pares que funcionan cambiando los valores de y y / o cambiando el signo de uno o ambos y . En total, hay dieciséis pares de soluciones diferentes. Por otro lado, cuando, la ecuacion
no tiene soluciones enteras. Para ver por qué, notamos que a no ser que o . Por lo tanto, excederá de 3 a menos que es uno de los nueve pares con y cada uno igual a o 1. Podemos comprobar estos nueve pares directamente para ver que ninguno de ellos satisface , entonces la ecuación no tiene soluciones enteras.
Un argumento similar muestra que para cada , la ecuacion sólo puede tener un número finito de soluciones, ya que excederá a menos que los valores absolutos y son ambos menores que . Solo hay un número finito de pares que satisfacen esta restricción.
Otro problema antiguo que involucra formas cuadráticas nos pide que resolvamos la ecuación de Pell . Por ejemplo, podemos buscar números enteros x e y para que. Cambio de signos de x e y en una solución da otra solución, por lo que es suficiente para buscar soluciones justas en números enteros positivos. Una solucion es, es decir, hay una igualdad . Si hay alguna solución para , luego es otro de esos pares. Por ejemplo, de la pareja, calculamos
- ,
y podemos comprobar que esto satisface . Iterando este proceso, encontramos más pares con :
Estos valores seguirán creciendo en tamaño, por lo que vemos que hay infinitas formas de representar 1 mediante la forma . Esta descripción recursiva fue discutida en el comentario de Theon of Smyrna sobre los Elementos de Euclides .
El problema de la representación
El problema más antiguo de la teoría de las formas cuadráticas binarias es el problema de la representación : describe las representaciones de un número dado.por una forma cuadrática dada f . "Describir" puede significar varias cosas: proporcionar un algoritmo para generar todas las representaciones, una fórmula cerrada para el número de representaciones o incluso simplemente determinar si existe alguna representación.
Los ejemplos anteriores discuten el problema de representación de los números 3 y 65 mediante la forma y para el numero 1 por la forma . Vemos que 65 está representado por de dieciséis formas diferentes, mientras que 1 está representado por de infinitas formas y 3 no está representado por en absoluto. En el primer caso, se describieron explícitamente las dieciséis representaciones. También se demostró que el número de representaciones de un entero porsiempre es finito. La función de suma de cuadrados da el número de representaciones de n poren función de n . Hay una fórmula cerrada [3]
dónde es el número de divisores de n que son congruentes con 1 módulo 4 yes el número de divisores de n que son congruentes con 3 módulo 4.
Hay varios invariantes de clase relevantes para el problema de representación:
- El conjunto de números enteros representados por una clase. Si un número entero n está representado por una forma en una clase, entonces está representado por todas las demás formas en una clase.
- El valor absoluto mínimo representado por una clase. Este es el valor no negativo más pequeño del conjunto de números enteros representados por una clase.
- Las clases de congruencia modulo el discriminante de una clase representada por la clase.
El valor absoluto mínimo representado por una clase es cero para clases degeneradas y positivo para clases definidas e indefinidas. Todos los números representados por una forma definida tienen el mismo signo: positivo si y negativo si . Por esta razón, las primeras se denominan formas definidas positivas y las segundas son definidas negativas .
El número de representaciones de un entero n por una forma f es finito si f es definido e infinito si f es indefinido. Vimos instancias de esto en los ejemplos anteriores: es positivo definido y es indefinido.
Representaciones equivalentes
La noción de equivalencia de formas puede extenderse a representaciones equivalentes . Representaciones y son equivalentes si existe una matriz
con entradas enteras y determinante 1 de modo que y
Las condiciones anteriores dan una acción (correcta) del grupo en el conjunto de representaciones de números enteros mediante formas cuadráticas binarias. Se sigue que la equivalencia definida de esta manera es una relación de equivalencia y, en particular, que las formas en representaciones equivalentes son formas equivalentes.
Como ejemplo, dejemos y considerar una representación . Esta representación es una solución a la ecuación de Pell descrita en los ejemplos anteriores. La matriz
tiene determinante 1 y es un automorfismo de f . Actuando sobre la representación por esta matriz produce la representación equivalente . Este es el paso de recursividad en el proceso descrito anteriormente para generar infinitas soluciones para. Iterando esta acción matricial, encontramos que el conjunto infinito de representaciones de 1 por f que se determinaron anteriormente son todos equivalentes.
Generalmente hay un número finito de clases de equivalencia de representaciones de un número entero n por formas de discriminante distinto de cero dado.. Se puede proporcionar un conjunto completo de representantes para estas clases en términos de formas reducidas definidas en la sección siguiente. Cuándo, cada representación es equivalente a una representación única por una forma reducida, por lo que un conjunto completo de representantes viene dado por el número finito de representaciones de n por formas reducidas de discriminante. Cuándo, Zagier demostró que toda representación de un entero positivo n mediante una forma de discriminante es equivalente a una representación única en el que f se reduce en el sentido de Zagier y, . [4] El conjunto de todas estas representaciones constituye un conjunto completo de representantes para clases de equivalencia de representaciones.
Reducción y números de clase
Lagrange demostró que por cada valor D , sólo hay un número finito de clases de formas cuadráticas binarias con discriminante D . Su número es elnúmero de la clase de discriminanteD. Describió un algoritmo, llamadoreducción, para construir un representante canónico en cada clase, laforma reducida, cuyos coeficientes son los más pequeños en un sentido adecuado.
Gauss proporcionó un algoritmo de reducción superior en Disquisitiones Arithmeticae , que desde entonces ha sido el algoritmo de reducción más comúnmente dado en los libros de texto. En 1981, Zagier publicó un algoritmo de reducción alternativo que ha encontrado varios usos como alternativa al de Gauss. [5]
Composición
La composición se refiere más comúnmente a una operación binaria en clases de equivalencia primitivas de formas del mismo discriminante, uno de los descubrimientos más profundos de Gauss, que convierte a este conjunto en un grupo abeliano finito llamado grupo de clases de forma (o simplemente grupo de clases) de discriminante. Desde entonces, los grupos de clases se han convertido en una de las ideas centrales de la teoría algebraica de números. Desde una perspectiva moderna, el grupo de clase de un discriminante fundamentales isomorfo al grupo de clases estrecho del campo cuadrático de discriminante . [6] Para negativo, el grupo de clase estrecho es el mismo que el grupo de clase ideal , pero para puede ser el doble de grande.
"Composición" también se refiere a veces, aproximadamente, a una operación binaria en formas cuadráticas binarias. La palabra "aproximadamente" indica dos salvedades: sólo se pueden componer ciertos pares de formas cuadráticas binarias y la forma resultante no está bien definida (aunque su clase de equivalencia sí lo está). La operación de composición en clases de equivalencia se define definiendo primero la composición de formas y luego mostrando que esto induce una operación bien definida en clases.
"Composición" también puede referirse a una operación binaria en representaciones de números enteros por formas. Esta operación es sustancialmente más complicada [ cita requerida ] que la composición de formas, pero surgió primero históricamente. Consideraremos tales operaciones en una sección separada a continuación.
Composición significa tomar 2 formas cuadráticas del mismo discriminante y combinarlas para crear una forma cuadrática del mismo discriminante, es una generalización de la identidad de 2 cuadrados
Composición de formularios y clases
Se ha dado una variedad de definiciones de composición de formas, a menudo en un intento de simplificar la definición extremadamente técnica y general de Gauss. Presentamos aquí el método de Arndt, porque sigue siendo bastante general y lo suficientemente simple como para ser susceptible de cálculos a mano. Una definición alternativa se describe en los cubos de Bhargava .
Supongamos que deseamos componer formularios y , cada primitivo y del mismo discriminante . Realizamos los siguientes pasos:
- Calcular y , y
- Resuelve el sistema de congruencias
Se puede demostrar que este sistema siempre tiene un módulo único de solución entera . Arbitrariamente elegimos una solución de este tipo y lo llamamos B . - Calcule C tal que. Se puede demostrar que C es un número entero.
La forma es "la" composición de y . Vemos que su primer coeficiente está bien definido, pero los otros dos dependen de la elección de B y C . Una forma de hacer de esto una operación bien definida es hacer una convención arbitraria sobre cómo elegir B; por ejemplo, elija B para que sea la solución positiva más pequeña del sistema de congruencias anterior. Alternativamente, podemos ver el resultado de la composición, no como una forma, sino como una clase de equivalencia de formas módulo la acción del grupo de matrices de la forma.
- ,
donde n es un número entero. Si consideramos la clase demarco de esta acción, los coeficientes medios de las formas de la clase forman una clase de congruencia de enteros módulo 2 A . Por lo tanto, la composición da una función bien definida desde pares de formas cuadráticas binarias hasta tales clases.
Se puede demostrar que si y son equivalentes a y respectivamente, entonces la composición de y es equivalente a la composición de y . De ello se deduce que la composición induce una operación bien definida en clases primitivas de discriminantes., y como se mencionó anteriormente, Gauss mostró que estas clases forman un grupo abeliano finito. La clase de identidad en el grupo es la clase única que contiene todas las formas., es decir, con el primer coeficiente 1. (Se puede demostrar que todas estas formas se encuentran en una sola clase, y la restricción implica que existe tal forma de cada discriminante.) Para invertir una clase, tomamos un representante y formar la clase de . Alternativamente, podemos formar la clase de ya que esto y son equivalentes.
Genera de formas cuadráticas binarias
Gauss también consideró una noción más burda de equivalencia, con cada clase burda llamada género de formas. Cada género es la unión de un número finito de clases de equivalencia del mismo discriminante, y el número de clases depende únicamente del discriminante. En el contexto de las formas cuadráticas binarias, los géneros se pueden definir mediante clases de congruencia de números representados por formas o por caracteres de género definidos en el conjunto de formas. Una tercera definición es un caso especial del género de forma cuadrática en n variables. Esto establece que las formas están en el mismo género si son localmente equivalentes en todos los números primos racionales (incluido el lugar de Arquímedes ).
Historia
Existe evidencia circunstancial de conocimiento protohistórico de identidades algebraicas que involucran formas cuadráticas binarias. [7] El primer problema relativo a las formas cuadráticas binarias pide la existencia o construcción de representaciones de números enteros mediante formas cuadráticas binarias particulares. Los ejemplos principales son la solución de la ecuación de Pell y la representación de números enteros como sumas de dos cuadrados. La ecuación de Pell ya fue considerada por el matemático indio Brahmagupta en el siglo VII d.C. Varios siglos más tarde, sus ideas se ampliaron a una solución completa de la ecuación de Pell conocida como el método chakravala , atribuido a cualquiera de los matemáticos indios Jayadeva o Bhāskara II . [8] El problema de representar números enteros por sumas de dos cuadrados fue considerado en el siglo III por Diofanto . [9] En el siglo XVII, inspirado mientras leía la Arithmetica de Diofanto , Fermat hizo varias observaciones sobre representaciones de formas cuadráticas específicas, incluida la que ahora se conoce como el teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados . [10] Euler proporcionó las primeras pruebas de las observaciones de Fermat y agregó algunas conjeturas nuevas sobre representaciones mediante formas específicas, sin prueba. [11]
La teoría general de las formas cuadráticas fue iniciada por Lagrange en 1775 en sus Recherches d'Arithmétique . Lagrange fue el primero en darse cuenta de que "una teoría general coherente requería la consideración simulada de todas las formas". [12] Fue el primero en reconocer la importancia del discriminante y en definir las nociones esenciales de equivalencia y reducción que, según Weil, han "dominado todo el tema de las formas cuadráticas desde entonces". [13] Lagrange mostró que hay un número finito de clases de equivalencia de discriminante dado, definiendo así por primera vez un número de clase aritmética . Su introducción de la reducción permitió la enumeración rápida de las clases de discriminantes dados y presagió el eventual desarrollo de la infraestructura . En 1798, Legendre publicó Essai sur la théorie des nombres , que resumía el trabajo de Euler y Lagrange y agregó algunas de sus propias contribuciones, incluido el primer destello de una operación de composición sobre formas.
La teoría fue ampliamente ampliada y refinada por Gauss en la Sección V de Disquisitiones Arithmeticae . Gauss introdujo una versión muy general de un operador de composición que permite componer incluso formas de diferentes discriminantes e imprimitivas. Reemplazó la equivalencia de Lagrange con la noción más precisa de equivalencia propia, y esto le permitió mostrar que las clases primitivas de un discriminante dado forman un grupo bajo la operación de composición. Introdujo la teoría del género, que ofrece una forma poderosa de comprender el cociente del grupo de clases por el subgrupo de cuadrados. (Gauss y muchos autores posteriores escribieron 2 b en lugar de b ; la convención moderna que permite que el coeficiente de xy sea impar se debe a Eisenstein ).
Estas investigaciones de Gauss influyeron fuertemente tanto en la teoría aritmética de las formas cuadráticas en más de dos variables como en el desarrollo posterior de la teoría algebraica de números, donde los campos cuadráticos son reemplazados por campos numéricos más generales . Pero el impacto no fue inmediato. La sección V de Disquisitiones contiene ideas verdaderamente revolucionarias e implica cálculos muy complicados, que a veces se dejan al lector. Combinadas, la novedad y la complejidad hicieron que la Sección V fuera notoriamente difícil. Dirichlet publicó simplificaciones de la teoría que la hicieron accesible a una audiencia más amplia. La culminación de este trabajo es su texto Vorlesungen über Zahlentheorie . La tercera edición de este trabajo incluye dos suplementos de Dedekind . El Suplemento XI introduce la teoría de anillos y, a partir de ese momento, especialmente después de la publicación de 1897 del Zahlbericht de Hilbert , la teoría de las formas cuadráticas binarias perdió su posición preeminente en la teoría de números algebraica y quedó eclipsada por la teoría más general de los campos numéricos algebraicos .
Aun así, el trabajo en formas cuadráticas binarias con coeficientes enteros continúa hasta el presente. Esto incluye numerosos resultados sobre campos numéricos cuadráticos, que a menudo se pueden traducir al lenguaje de las formas cuadráticas binarias, pero también incluye desarrollos sobre las formas en sí mismas o que se originaron al pensar en las formas, incluida la infraestructura de Shanks , el algoritmo de reducción de Zagier , los topógrafos de Conway y los de Bhargava. reinterpretación de la composición a través de cubos de Bhargava .
Ver también
- Cubo de Bhargava
- Teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados
- Símbolo de Legendre
Notas
- ^ Cohen 1993 , §5.2
- ^ Weil 2001 , p. 30
- ^ Hardy y Wright 2008 , Thm. 278
- ^ Zagier 1981
- ^ Zagier 1981
- ^ Fröhlich y Taylor 1993 , Teorema 58
- ↑ Weil 2001 , Ch.I §§VI, VIII
- ↑ Weil 2001 , Capítulo I, §IX
- ↑ Weil 2001 , Capítulo I, §IX
- ↑ Weil 2001 , Ch.II §§VIII-XI
- ↑ Weil 2001 , Ch.III §§VII-IX
- ↑ Weil , 2001 , p. 318.
- ^ Weil 2001 , p. 317
Referencias
- Johannes Buchmann, Ulrich Vollmer: Formas cuadráticas binarias , Springer, Berlín 2007, ISBN 3-540-46367-4
- Duncan A. Buell: Formas cuadráticas binarias , Springer, Nueva York 1989
- David A Cox, Primes de la forma, Fermat, teoría de campos de clases y multiplicación compleja
- Cohen, Henri (1993), Un curso de teoría de números algebraicos computacionales , Textos de posgrado en matemáticas, 138 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-55640-4, MR 1228206
- Fröhlich, Albrecht ; Taylor, Martin (1993), teoría de números algebraica , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 27 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43834-6, MR 1215934
- Hardy, GH ; Wright, EM (2008) [1938], Introducción a la teoría de los números , revisada por DR Heath-Brown y JH Silverman . Prólogo de Andrew Wiles . (6a ed.), Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-921986-5, MR 2445243 , Zbl 1159.11001
- Weil, André (2001), Teoría de números: un acercamiento a través de la historia desde Hammurapi hasta Legendre , Birkhäuser Boston
- Zagier, Don (1981), Zetafunktionen und quadratische Körper: eine Einführung in die höhere Zahlentheorie , Springer
enlaces externos
- Peter Luschny, números positivos representados por una forma cuadrática binaria
- AV Malyshev (2001) [1994], "Forma cuadrática binaria" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press