En teoría de números , los enteros cuadráticos son una generalización de los enteros habituales a campos cuadráticos . Los enteros cuadráticos son enteros algebraicos de grado dos, es decir, soluciones de ecuaciones de la forma
- x 2 + bx + c = 0
con b y c (habituales) enteros. Cuando se consideran números enteros algebraicos, los números enteros habituales a menudo se denominan enteros racionales .
Ejemplos comunes de enteros cuadráticos son las raíces cuadradas de enteros racionales, como √ 2 , y el número complejo i = √ –1 , que genera los enteros gaussianos . Otro ejemplo común es la raíz cúbica de unidad no real. −1 + √ –3/2, que genera los números enteros de Eisenstein .
Los enteros cuadráticos ocurren en las soluciones de muchas ecuaciones diofánticas , como las ecuaciones de Pell y otras preguntas relacionadas con las formas cuadráticas integrales . El estudio de anillos de números enteros cuadráticos es básico para muchas cuestiones de la teoría algebraica de números .
Historia
Los matemáticos indios medievales ya habían descubierto una multiplicación de números enteros cuadráticos de la misma D , lo que les permitió resolver algunos casos de la ecuación de Pell . [ cita requerida ]
La caracterización dada en § La representación explícita de los números enteros cuadráticos fue dada por primera vez por Richard Dedekind en 1871. [1] [2]
Definición
Un número entero cuadrático es un número entero algebraico de grado dos. Más explícitamente, es un número complejo , que resuelve una ecuación de la forma x 2 + bx + c = 0 , con b y c enteros . Cada número entero cuadrático que no es un número entero no es racional , es decir, es un número irracional real si b 2 - 4 c > 0 y no real si b 2 - 4 c <0, y se encuentra en un campo cuadrático determinado de forma única , la extensión de generado por la raíz cuadrada del único entero libre de cuadrados D que satisface b 2 - 4 c = De 2 para algún número entero e . Si D es positivo, el número entero cuadrático es real. Si D <0, es imaginario (es decir, complejo y no real).
Los enteros cuadráticos (incluidos los enteros ordinarios), que pertenecen a un campo cuadrático , forman un dominio integral llamado anillo de enteros de
Aunque los números enteros cuadráticos que pertenecen a un campo cuadrático dado forman un anillo , el conjunto de todos los números enteros cuadráticos no es un anillo porque no está cerrado bajo suma o multiplicación . Por ejemplo, y son enteros cuadráticos, pero y no lo son, ya que sus polinomios mínimos tienen grado cuatro.
Representación explícita
Aquí y a continuación, los enteros cuadráticos que se consideran pertenecen a un campo cuadrático donde D es un número entero libre de cuadrados . Esto no restringe la generalidad, ya que la igualdad √ a 2 D = a √ D (para cualquier entero positivo a ) implica
Un elemento x dees un número entero cuadrática si y sólo si hay dos números enteros a y b tales que, o bien
o, si D - 1 es múltiplo de 4
- con un y b tanto impar
En otras palabras, cada número entero cuadrática puede escribirse un + ωb , donde un y b son números enteros, y donde ω se define por:
(como D se ha supuesto libre de cuadrados, el casoes imposible, ya que implicaría que D sería divisible por el cuadrado 4). [3]
Norma y conjugación
Un entero cuadrático en puede estar escrito
- a + b √ D ,
donde un y b son ambos números enteros, o, sólo si D ≡ 1 (mod 4) , ambas mitades de enteros impares . La norma de tal número entero cuadrático es
- N ( un + b √ D ) = un 2 - Db 2 .
La norma de un número entero cuadrático es siempre un número entero. Si D <0 , la norma de un entero cuadrático es el cuadrado de su valor absoluto como un número complejo (esto es falso si D > 0 ). La norma es una función completamente multiplicativa , lo que significa que la norma de un producto de números enteros cuadráticos es siempre el producto de sus normas.
Todo entero cuadrático a + b √ D tiene un conjugado
Un entero cuadrático tiene la misma norma que su conjugado, y esta norma es el producto del entero cuadrático y su conjugado. El conjugado de una suma o un producto de números enteros cuadráticos es la suma o el producto (respectivamente) de los conjugados. Esto significa que la conjugación es un automorfismo del anillo de los enteros de—Ver § Anillos enteros cuadráticos , más abajo.
Anillos enteros cuadráticos
Cada número entero libre de cuadrados (diferente de 0 y 1) D define un anillo de números enteros cuadráticos , que es el dominio integral que consiste en los números enteros algebraicos contenidos enEs el conjunto Z [ ω ] = { a + ωb : a , b ∈ Z }, donde si D = 4 k +1 , y ω = √ D en caso contrario. A menudo se denota, porque es el anillo de números enteros de Q ( √ D ), que es el cierre integral de Z enEl anillo Z [ ω ] consta de todas las raíces de todas las ecuaciones x 2 + Bx + C = 0 cuyo discriminante B 2 - 4 C es el producto de D por el cuadrado de un número entero. En particular, √ D pertenece a Z [ ω ] , siendo una raíz de la ecuación x 2 - D = 0 , que tiene 4 D como discriminante.
La raíz cuadrada de cualquier número entero es un número entero cuadrático, ya que cada número entero se puede escribir n = m 2 D , donde D es un número entero libre de cuadrados y su raíz cuadrada es una raíz de x 2 - m 2 D = 0 .
El teorema fundamental de la aritmética no es cierto en muchos anillos de números enteros cuadráticos. Sin embargo, existe una factorización única para los ideales , que se expresa por el hecho de que cada anillo de números enteros algebraicos es un dominio de Dedekind . Siendo los ejemplos más simples de números enteros algebraicos, los números enteros cuadráticos son comúnmente los ejemplos iniciales de la mayoría de los estudios de teoría de números algebraicos . [4]
Los anillos de enteros de segundo grado se dividen en dos clases, dependiendo del signo de D . Si D > 0 , todos los elementos deson reales, y el anillo es un anillo entero cuadrático real . Si D <0 , los únicos elementos reales deson los números enteros ordinarios, y el anillo es un anillo entero cuadrático complejo .
Para anillos enteros cuadráticos reales, el número de clase , que mide el fallo de la factorización única, se da en OEIS A003649 ; para el caso imaginario, se dan en OEIS A000924 .
Unidades
Un entero cuadrático es una unidad en el anillo de los enteros desi y solo si su norma es 1 o –1 . En el primer caso, su inverso multiplicativo es su conjugado. Es la negación de su conjugado en el segundo caso.
Si D <0 , el anillo de los enteros dePosee como máximo seis unidades. En el caso de los enteros gaussianos ( D = –1 ), las cuatro unidades son 1, –1, √ –1 , - √ –1 . En el caso de los enteros de Eisenstein ( D = –3 ), las seis unidades son ± 1, ± 1 ± √ –3/2. Para todos los demás D negativos , solo hay dos unidades, que son 1 y –1 .
Si D > 0 , el anillo de los enteros detiene infinitas unidades que son iguales a ± u i , donde i es un entero arbitrario y u es una unidad particular llamada unidad fundamental . Dada una unidad fundamental u , hay otras tres unidades fundamentales, su conjugado y también y Comúnmente, se llama la unidad fundamental, la única que tiene un valor absoluto mayor que 1 (como número real). Es la única unidad fundamental que puede escribirse como a + b √ D , con a y b positivos (enteros o mitades de enteros).
Las unidades fundamentales para los 10 D libres de cuadrados positivos más pequeños son 1 + √ 2 , 2 + √ 3 ,1 + √ 5/2(la proporción áurea ), 5 + 2 √ 6 , 8 + 3 √ 7 , 3 + √ 10 , 10 + 3 √ 11 ,3 + √ 13/2, 15 + 4 √ 14 , 4 + √ 15 . Para D mayor , los coeficientes de la unidad fundamental pueden ser muy grandes. Por ejemplo, para D = 19, 31, 43 , las unidades fundamentales son respectivamente 170 + 39 √ 19 , 1520 + 273 √ 31 y 3482 + 531 √ 43 .
Ejemplos de anillos enteros cuadráticos complejos
Para D <0, ω es un número complejo ( imaginario o no real). Por lo tanto, es natural tratar un anillo entero cuadrático como un conjunto de números complejos algebraicos .
- Un ejemplo clásico es , los enteros gaussianos , que Carl Gauss introdujo alrededor de 1800 para enunciar su ley de reciprocidad bicuadrática. [5]
- Los elementos en se llaman enteros de Eisenstein .
Ambos anillos mencionados anteriormente son anillos de números enteros de campos ciclotómicos Q (ζ 4 ) y Q (ζ 3 ) correspondientemente. Por el contrario, Z [ √ −3 ] ni siquiera es un dominio de Dedekind .
Los dos ejemplos anteriores son anillos ideales principales y también dominios euclidianos para la norma. Este no es el caso de
que ni siquiera es un dominio de factorización único . Esto se puede demostrar de la siguiente manera.
En tenemos
Los factores 3, y son irreductibles , ya que tienen todos una norma de 9, y si no fueran irreductibles, tendrían un factor de norma 3, lo cual es imposible, siendo la norma de un elemento diferente de ± 1 al menos 4. Así la factorización de 9 en factores irreductibles no es único.
Los ideales y no son principales , ya que un simple cálculo muestra que su producto es el ideal generado por 3, y, si fueran principales, esto implicaría que 3 no sería irreductible.
Ejemplos de anillos enteros cuadráticos reales
Para D > 0 , ω es un número real irracional positivo y el anillo entero cuadrático correspondiente es un conjunto de números reales algebraicos . Las soluciones de la ecuación de Pell X 2 - D Y 2 = 1 , una ecuación diofántica que ha sido ampliamente estudiada, son las unidades de estos anillos, para D ≡ 2, 3 (mod 4) .
- Para D = 5 , ω = 1+ √ 5/2es la proporción áurea . Este anillo fue estudiado por Peter Gustav Lejeune Dirichlet . Sus unidades tienen la forma ± ω n , donde n es un número entero arbitrario. Este anillo también surge del estudio de la simetría rotacional quíntuple en el plano euclidiano, por ejemplo, los mosaicos de Penrose . [6]
- El matemático indio Brahmagupta trató la ecuación de Pell X 2 - 61 Y 2 = 1 , correspondiente al anillo es Z [ √ 61 ] . Algunos resultados fueron presentados a la comunidad europea por Pierre Fermat en 1657. [ ¿cuál? ]
Anillos principales de números enteros cuadráticos
La propiedad de factorización única no siempre se verifica para anillos de números enteros cuadráticos, como se vio anteriormente para el caso de Z [ √ −5 ] . Sin embargo, como para todos los dominios de Dedekind , un anillo de números enteros cuadráticos es un dominio de factorización único si y solo si es un dominio ideal principal . Esto ocurre si y solo si el número de clase del campo cuadrático correspondiente es uno.
Los anillos imaginarios de números enteros cuadráticos que son los principales anillos ideales han sido completamente determinados. Estos son por
- D = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163 .
Este resultado fue conjeturado por primera vez por Gauss y probado por Kurt Heegner , aunque la demostración de Heegner no se creyó hasta que Harold Stark dio una demostración posterior en 1967. (Véase el teorema de Stark-Heegner ). Este es un caso especial del famoso problema del número de clase .
Hay muchos números enteros positivos conocidos D > 0 , para los cuales el anillo de números enteros cuadráticos es un anillo ideal principal. Sin embargo, no se conoce la lista completa; ni siquiera se sabe si el número de estos anillos ideales principales es finito o no.
Anillos euclidianos de enteros cuadráticos
Cuando un anillo de números enteros cuadráticos es un dominio ideal principal , es interesante saber si es un dominio euclidiano . Este problema se ha resuelto por completo de la siguiente manera.
Equipado con la norma como función euclidiana ,es un dominio euclidiano para D negativo cuando
- D = −1, −2, −3, −7, −11 , [7]
y, para D positivo , cuando
- D = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 (secuencia A048981 en la OEIS ).
No hay otro anillo de números enteros cuadráticos que sea euclidiano con la norma como función euclidiana. [8]
Para D negativo , un anillo de números enteros cuadráticos es euclidiano si y solo si la norma es una función euclidiana para él. De ello se deduce que, por
- D = −19, −43, −67, −163 ,
los cuatro anillos correspondientes de números enteros cuadráticos se encuentran entre los raros ejemplos conocidos de dominios ideales principales que no son dominios euclidianos.
Por otro lado, la hipótesis de Riemann generalizada implica que un anillo de números enteros cuadráticos reales que es un dominio ideal principal también es un dominio euclidiano para alguna función euclidiana, que de hecho puede diferir de la norma habitual. [9] Los valores D = 14, 69 fueron los primeros en los que se demostró que el anillo de números enteros cuadráticos era euclidiano, pero no euclidiano normativo. [10] [11]
Notas
- ^ Dedekind 1871 , Suplemento X, p. 447
- ^ Bourbaki 1994 , p. 99
- ^ "¿Por qué se define el anillo entero cuadrático de esa manera?" . math.stackexchange.com . Consultado el 31 de diciembre de 2016 .
- ^ M. Artin, Álgebra (2.a ed.) Capítulo 13
- ^ Dummit, pág. 229
- ^ de Bruijn, NG (1981), "Teoría algebraica de las teselaciones no periódicas del plano de Penrose, I, II" (PDF) , Indagationes Mathematicae , 43 (1): 39–66
- ^ Dummit, pág. 272
- ^ LeVeque, William J. (2002) [1956]. Temas de Teoría de Números, Volúmenes I y II . Nueva York: Publicaciones de Dover. págs. II: 57, 81. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001 .
- ^ P. Weinberger, Sobre anillos euclidianos de enteros algebraicos . En: Teoría analítica de números (St. Louis, 1972), Proc. Simpos. Matemática pura. 24 (1973), 321–332.
- ^ M. Harper, es euclidiana . Lata. J. Math. 56 (2004), 55–70.
- ↑ David A. Clark, A quadratic field which is Euclidean but not norm-Euclidean , Manuscripta Mathematica, 83 (1994), 327–330 [1] Archivado el 29 de enero de 2015 en la Wayback Machine.
Referencias
- Bourbaki, Nicolas (1994). Elementos de la historia de las matemáticas . Traducido por Meldrum, John. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64767-6. Señor 1290116 .
- Dedekind, Richard (1871), Vorlesungen über Zahlentheorie von PG Lejeune Dirichlet (2 ed.), Vieweg. Consultado el 5 de agosto de 2009.
- Dummit, DS y Foote, RM, 2004. Álgebra abstracta , 3ª ed.
- Artin, M, Álgebra , 2a ed., Capítulo 13.
Otras lecturas
- JS Milne. Teoría algebraica de números , versión 3.01, 28 de septiembre de 2008. notas de clase en línea