Diseño t cuántico
Un diseño t cuántico es una distribución de probabilidad sobre estados cuánticos puros o operadores unitarios que pueden duplicar las propiedades de la distribución de probabilidad sobre la medida de Haar para polinomios de grado t o menos. Específicamente, el promedio de cualquier función polinomial de grado t sobre el diseño es exactamente el mismo que el promedio sobre la medida de Haar. Aquí, la medida de Haar es una distribución de probabilidad uniforme sobre todos los estados cuánticos o sobre todos los operadores unitarios. Los diseños t cuánticos se denominan así porque son análogos a los diseños t en la estadística clásica, que surgieron históricamente en relación con el problema del diseño de experimentos.. Dos tipos particularmente importantes de diseños en T en mecánica cuántica son los diseños en T proyectivos y unitarios. [1]
Un diseño esférico es una colección de puntos en la esfera unitaria para los cuales se pueden promediar polinomios de grado acotado para obtener el mismo valor que da la integración sobre la medida de la superficie en la esfera. Los diseños en T esféricos y proyectivos derivan sus nombres de las obras de Delsarte, Goethals y Seidel a fines de la década de 1970, pero estos objetos desempeñaron roles anteriores en varias ramas de las matemáticas, incluida la integración numérica y la teoría de números. Ejemplos particulares de estos objetos han encontrado usos en la teoría de la información cuántica , [2] criptografía cuántica y otros campos relacionados.
Los diseños en T unitarios son análogos a los diseños esféricos en que reproducen todo el grupo unitario a través de una colección finita de matrices unitarias . [1] La teoría de 2 diseños unitarios se desarrolló en 2006 [1] específicamente para lograr un medio práctico de evaluación comparativa aleatoria eficiente y escalable [3] para evaluar los errores en las operaciones de computación cuántica, llamadas puertas. Desde entonces, los diseños en T unitarios se han encontrado útiles en otras áreas de la computación cuántica y, más ampliamente, en la teoría de la información cuántica, y se han aplicado a problemas de tan gran alcance como la paradoja de la información del agujero negro. [4] Los diseños en T unitarios son especialmente relevantes para las tareas de aleatorización en la computación cuántica, ya que las operaciones ideales generalmente están representadas por operadores unitarios.
En un espacio de Hilbert de dimensión d, cuando se promedia sobre todos los estados cuánticos puros, el grupo natural es SU (d), el grupo unitario especial de dimensión d. La medida de Haar es, por definición, la única medida invariante de grupo, por lo que se utiliza para promediar propiedades que no son unitariamente invariantes en todos los estados o en todos los unitarios.
Un ejemplo particularmente utilizado de esto es el sistema de centrifugado. Para este sistema, el grupo relevante es SU (2) que es el grupo de todos los operadores unitarios 2x2. Dado que cada operador unitario de 2x2 es una rotación de la esfera de Bloch , la medida de Haar para partículas de espín-1/2 es invariante bajo todas las rotaciones de la esfera de Bloch. Esto implica que la medida de Haar es la medida invariante en rotación en la esfera de Bloch, que se puede considerar como una distribución de densidad constante sobre la superficie de la esfera.
Una clase importante de diseños en T proyectivos complejos son los POVM de medidas positivas valoradas por el operador, informativamente completas y simétricas , que son diseños 2 proyectivos complejos. Dado que tales 2 diseños deben tener al menos elementos, un SIC-POVM es un 2 diseños proyectivos complejos de tamaño mínimo.
