Un diseño esférico , parte del diseño combinatorio teoría en matemáticas , es un conjunto finito de N puntos de la d unidad -dimensional d -sphere S d tal que el valor promedio de cualquier polinomio f de grado t o menos en el conjunto es igual a la media valor de f en toda la esfera (es decir, la integral de f sobre S d dividida por el área o medida de S d ). Tal conjunto a menudo se denomina diseño en t esférico .para indicar el valor de t , que es un parámetro fundamental. El concepto de diseño esférico se debe a Delsarte, Goethals y Seidel (1977), aunque estos objetos se entendieron anteriormente como ejemplos particulares de fórmulas de cubicación .
Los diseños esféricos pueden ser valiosos en teoría de aproximación , en estadística para diseño experimental , en combinatoria y en geometría . El problema principal es encontrar ejemplos, dado D y T , que no son demasiado grandes; sin embargo, estos ejemplos pueden ser difíciles de conseguir. Los diseños t esféricos también se han apropiado recientemente en la mecánica cuántica en forma de diseños t cuánticos con diversas aplicaciones para la teoría de la información cuántica y la computación cuántica .
Existencia de diseños esféricos.
Hong (1982) estudió en profundidad la existencia y estructura de diseños esféricos en el círculo. Poco después, Seymour y Zaslavsky (1984) demostraron que tales diseños existen de todos los tamaños suficientemente grandes; es decir, dados los números enteros positivos n y t , hay un número N ( d , t ) tal que para cada N ≥ N ( d , t ) existe un diseño t esférico de N puntos en la dimensión d . Sin embargo, su demostración no dio idea de cuán grande es N ( d , t ).
Mimura encontró constructivamente condiciones en términos del número de puntos y la dimensión que caracterizan exactamente cuando existen 2 diseños esféricos. Las colecciones de líneas equiangulares de tamaño máximo (hasta la identificación de líneas como puntos antípodas en la esfera) son ejemplos de 5 diseños esféricos de tamaño mínimo. Hay muchos diseños esféricos pequeños esporádicos; muchos de ellos están relacionados con acciones de grupos finitos en la esfera.
En 2013, Bondarenko, Radchenko y Viazovska obtuvieron el límite superior asintótico para todos los enteros positivos d y t . Esto coincide asintóticamente con el límite inferior dado originalmente por Delsarte, Goethals y Seidel. El valor de C d se desconoce actualmente, mientras que los valores exactos de se conocen en relativamente pocos casos.
Ver también
enlaces externos
- Los diseños de t esféricos para diferentes valores de N y t se pueden encontrar precalculados en el sitio web de Neil Sloane .
Notas
Referencias
- Bondarenko, Andriy ; Radchenko, Danylo; Viazovska, Maryna (2013), "Límites asintóticos óptimos para diseños esféricos", Annals of Mathematics , Second Series, 178 (2): 443–452, arXiv : 1009.4407 , doi : 10.4007 / annals.2013.178.2.2 , MR 3071504 , S2CID 2490453.
- Mimura, Yoshio (1990), "A construction of spherical 2-design", Graphs and Combinatorics , 6 (4): 369–372, doi : 10.1007 / BF01787704 , S2CID 28942727.
- Delsarte, P .; Goethals, JM; Seidel, JJ (1977), "Códigos y diseños esféricos", Geometriae Dedicata , 6 (3): 363–388, doi : 10.1007 / BF03187604 , MR 0485471 , S2CID 125833142. Reimpreso en Seidel, JJ (1991), Geometría y combinatoria: trabajos seleccionados de JJ Seidel , Boston, MA: Academic Press, Inc., ISBN 0-12-189420-7, MR 1116326.
- Hong, Yiming (1982), "Sobre diseños esféricos t en R 2 ", European Journal of Combinatorics , 3 (3): 255–258, doi : 10.1016 / S0195-6698 (82) 80036-X , MR 0679209.
- Seymour, PD ; Zaslavsky, Thomas (1984), "Conjuntos de promedios: una generalización de valores medios y diseños esféricos", Advances in Mathematics , 52 (3): 213-240, doi : 10.1016 / 0001-8708 (84) 90022-7 , MR 0744857.