Grupo cuasidiédrico
En matemáticas , los grupos cuasi-diédricos , también llamados grupos semi-diédricos , son ciertos grupos no abelianos de orden una potencia de 2. Por cada entero positivo n mayor o igual a 4, hay exactamente cuatro clases de isomorfismo de no -diédricos. grupos abelianos de orden 2 n que tienen un subgrupo cíclico de índice 2. Dos son bien conocidos, el grupo cuaternión generalizado y el grupo diédrico. Uno de los dos grupos restantes a menudo se considera particularmente importante, ya que es un ejemplo de un grupo de 2 de clase de nilpotencia máxima . En el texto Endliche Gruppen de Bertram Huppert , este grupo se denomina "Quasidiedergruppe". En el texto de Daniel Gorenstein , Finite Groups , este grupo se denomina "grupo semidiédrico". Dummit y Foote se refieren a él como el "grupo cuasidiédrico"; adoptamos ese nombre en este artículo. Todos dan la misma presentación para este grupo:
El otro grupo 2 no abeliano con subgrupo cíclico de índice 2 no recibe un nombre especial en ninguno de los textos, sino que se lo denomina simplemente G o M m (2). Cuando este grupo tiene orden 16, Dummit y Foote se refieren a este grupo como el "grupo modular de orden 16", ya que su entramado de subgrupos es modular , por lo que en este artículo este grupo se denominará grupo cíclico máximo modular. Su presentación es:
Ambos grupos y el diedro son productos semidirectos de un grupo cíclico < r > de orden 2 n −1 con un grupo cíclico < s > de orden 2. Tal producto semidirecto no abeliano está determinado únicamente por un elemento de orden 2 en el grupo de unidades del anillo y hay precisamente tres de tales elementos, , y , correspondientes al grupo diédrico, al cuasidiédrico y al grupo cíclico máximo modular.
El grupo cuaternión generalizado, el grupo diédrico y el grupo cuasidiédrico de orden 2 n tienen clase de nilpotencia n − 1, y son las únicas clases de isomorfismo de grupos de orden 2 n con clase de nilpotencia n − 1. Los grupos de orden p n y la clase de nilpotencia n - 1 fueron el comienzo de la clasificación de todos los p -grupos a través de la coclase . El grupo cíclico máximo modular de orden 2 n siempre tiene clase de nilpotencia 2. Esto hace que el grupo cíclico máximo modular sea menos interesante, ya que la mayoría de los grupos de orden p n para n grandetienen clase de nilpotencia 2 y han resultado difíciles de entender directamente.
El cuaternión generalizado, el diédrico y el grupo cuasidiédrico son los únicos 2-grupos cuyo subgrupo derivado tiene índice 4. El teorema de Alperin-Brauer-Gorenstein clasifica los grupos simples y, hasta cierto punto, los grupos finitos , con 2-subgrupos cuasidiédricos de Sylow .
