En matemáticas , un grupo se denomina grupo Iwasawa , grupo M o grupo modular si su red de subgrupos es modular . Alternativamente, un grupo G se denomina grupo Iwasawa cuando cada subgrupo de G es permutable en G ( Ballester-Bolinches, Esteban-Romero & Asaad 2010 , pp. 24-25).
Kenkichi Iwasawa ( 1941 ) demostró que un p -grupo G es un grupo Iwasawa si y solo si ocurre uno de los siguientes casos:
- G es un grupo Dedekind , o
- G contiene un subgrupo normal abeliano N tal que el grupo cociente G / N es un grupo cíclico y si q denota un generador de G / N , entonces para todo n ∈ N , q −1 nq = n 1+ p s donde s ≥ 1 en general, pero s ≥ 2 para p = 2.
En Berkovich & Janko (2008 , p. 257), se consideró que la demostración de Iwasawa tenía lagunas esenciales, que fueron llenados por Franco Napolitani y Zvonimir Janko . Roland Schmidt ( 1994 ) ha proporcionado una prueba alternativa en diferentes líneas en su libro de texto. Como parte de la demostración de Schmidt, demuestra que un grupo p finito es un grupo modular si y solo si cada subgrupo es permutable, por ( Schmidt 1994 , Lema 2.3.2, p. 55).
Cada subgrupo de un grupo p finito es subnormal , y los grupos finitos en los que coinciden la subnormalidad y la permutabilidad se denominan grupos PT. En otras palabras, un grupo p finito es un grupo Iwasawa si y solo si es un grupo PT . [ cita requerida ]
Ejemplos de
El grupo Iwasawa de orden 16 es isomorfo al grupo modular de orden 16. [ cita requerida ]
Ver también
Otras lecturas
Tanto los grupos M finitos como los infinitos se presentan en forma de libro de texto en Schmidt (1994 , cap. 2). El estudio moderno incluye a Zimmermann (1989) .
Referencias
- Iwasawa, Kenkichi (1941), "Über die endlichen Gruppen und die Verbände ihrer Untergruppen", J. Fac. Sci. Diablillo. Univ. Tokio. Secta. I. , 4 : 171–199, MR 0005721
- Iwasawa, Kenkichi (1943), "Sobre la estructura de infinitos grupos M", Japanese Journal of Mathematics , 18 : 709–728, MR 0015118
- Schmidt, Roland (1994), subgrupos enrejados de grupos , exposiciones en matemáticas, 14 , Walter de Gruyter, doi : 10.1515 / 9783110868647 , ISBN 978-3-11-011213-9, Señor 1292462
- Zimmermann, Irene (1989), "Subgrupos submodulares en grupos finitos", Mathematische Zeitschrift , 202 (4): 545–557, doi : 10.1007 / BF01221589 , MR 1022820
- Ballester-Bolinches, Adolfo; Esteban-Romero, Ramón; Asaad, Mohamed (2010), Productos de grupos finitos , Walter de Gruyter, págs. 24-25, ISBN 978-3-11-022061-2
- Berkovich, Yakov; Janko, Zvonimir (2008), Grupos de orden de poder principal , 2 , Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-020823-8