En la teoría del operador , los operadores cuasinormales son una clase de operadores acotados que se definen al debilitar los requisitos de un operador normal .
Todo operador cuasinormal es un operador subnormal . Todo operador cuasinormal en un espacio de Hilbert de dimensión finita es normal.
Definición y algunas propiedades
Definición
Sea A un operador acotado en un espacio de Hilbert H , entonces se dice que A es cuasinormal si A conmuta con A * A , es decir
Propiedades
Un operador normal es necesariamente cuasinormal.
Deje Un = UP ser la descomposición polar de A . Si A es cuasinormal, entonces UP = PU . Para ver esto, aviso de que el factor positivo P en la descomposición polar es de la forma ( A * A ) 1 / 2 , la raíz cuadrada positiva única de A * A . Quasinormality significa A conmuta con A * A . Como consecuencia del cálculo funcional continuo para operadores autoadjuntos , A conmuta con P = ( A * A )1 ⁄ 2 también, es decir
Así UP = PU en el rango de P . Por otro lado, si h ∈ H se encuentra en el núcleo de P , claramente UP h = 0. Pero PU h = 0 también. porque U es una isometría parcial cuyo espacio inicial es cierre de rango P . Finalmente, la autoadincidencia de P implica que H es la suma directa de su rango y núcleo. Así, el argumento dado demuestra UP = PU en todos H .
Por otro lado, se puede verificar fácilmente que si UP = PU , entonces A debe ser cuasinormal. Por tanto, el operador A es cuasinormal si y solo si UP = PU .
Cuando H es de dimensión finita, todo operador cuasinormal A es normal. Esto se debe a que en el caso de dimensión finita, la isometría parcial U en la descomposición polar A = UP puede tomarse como unitaria. Esto entonces da
En general, una isometría parcial puede no ser extensible a un operador unitario y, por lo tanto, un operador cuasinormal no necesita ser normal. Por ejemplo, considere el cambio unilateral T . T es cuasinormal porque T * T es el operador de identidad. Pero T claramente no es normal.
Subespacios invariantes cuasinormales
No se sabe que, en general, si un operador acotado A en un espacio de Hilbert H tiene un subespacio invariante no trivial. Sin embargo, cuando A es normal, el teorema espectral da una respuesta afirmativa . Todo operador normal A se obtiene integrando la función identidad con respecto a una medida espectral E = { E B } en el espectro de A , σ ( A ):
Para cualquier conjunto Borel B ⊂ sigma ( A ), la proyección E B conmuta con A y por lo tanto la gama de E B es un subespacio invariable de A .
Lo anterior se puede extender directamente a los operadores cuasinormales. Decir que A conmuta con A * A es decir que A conmuta con ( A * A )1 ⁄ 2 . Pero esto implica queAconmuta con cualquier proyecciónE B en la medida espectral de (A * A)1 ⁄ 2 , lo que prueba la afirmación del subespacio invariante. De hecho, se puede concluir algo más fuerte. La gama deE B es en realidad unsubespacio reduccióndeA, es decir, su complemento ortogonal también es invariante bajoA.
Referencias
- P. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Springer, Nueva York 1982.