En matemáticas , especialmente en la teoría de operadores , los operadores subnormales son operadores acotados en un espacio de Hilbert definido al debilitar los requisitos para los operadores normales . [1] Algunos ejemplos de operadores subnormales son isometrías y operadores de Toeplitz con símbolos analíticos.
Definición
Sea H un espacio de Hilbert. Se dice que un operador limitado A en H es subnormal si A tiene una extensión normal . En otras palabras, A es subnormal si existe un espacio de Hilbert K tal que H se puede incrustar en K y existe un operador normal N de la forma
para algunos operadores acotados
Normalidad, cuasinormalidad y subnormalidad
Operadores normales
Todo operador normal es subnormal por definición, pero lo contrario no es cierto en general. Se puede obtener una clase simple de ejemplos debilitando las propiedades de los operadores unitarios . Un operador unitario es una isometría con rango denso . Considere ahora una isometría A cuyo rango no es necesariamente denso. Un ejemplo concreto de ello es el cambio unilateral , que no es normal. Pero A es subnormal y esto se puede mostrar explícitamente. Definir un operador U en
por
Shows cálculo directo que U es unitario, por lo tanto, una extensión normal de A . El operador T se llama la dilatación unitaria de la isometría A .
Operadores cuasinormales
Un operador A se dice que es cuasinormales si A conmuta con A * A . [2] Por tanto, un operador normal es cuasinormal; lo contrario no es cierto. Un contraejemplo viene dado, como antes, por el cambio unilateral. Por lo tanto, la familia de operadores normales es un subconjunto adecuado de operadores cuasinormales y subnormales. Una pregunta natural es cómo se relacionan los operadores cuasinormales y subnormales.
Demostraremos que un operador cuasinormal es necesariamente subnormal pero no al revés. Por lo tanto, los operadores normales son una subfamilia adecuada de operadores cuasinormales, que a su vez están contenidos por los operadores subnormales. Para argumentar la afirmación de que un operador cuasinormal es subnormal, recuerde la siguiente propiedad de los operadores cuasinormales:
Hecho: Un operador acotado A es cuasinormal si y solo si en su descomposición polar A = ARRIBA , la isometría parcial U y el operador positivo P conmutan. [3]
Dada una A cuasinormal , la idea es construir dilataciones para U y P de una manera suficientemente agradable para que todo se conmute. Supongamos por el momento que U es una isometría. Sea V la dilatación unitaria de U ,
Definir
El operador N = VQ es claramente una extensión de A . Mostramos que es una extensión normal mediante cálculo directo. Unitaridad de V significa
Por otro lado,
Debido UP = PU y P es auto adjunto, tenemos T * P = PU * y D T * P = D T * P . La comparación de entradas muestra que N es normal. Esto prueba que la cuasinormalidad implica subnormalidad.
Por ejemplo, un contador que muestra el contrario no es cierto, consideremos de nuevo el cambio unilateral A . El operador B = A + s para algunos escalar s restos subnormal. Pero si B es cuasinormal, un cálculo sencillo muestra que A * A = AA * , lo cual es una contradicción.
Extensión mínima normal
No unicidad de las extensiones normales
Dado un operador A subnormal , su extensión normal B no es única. Por ejemplo, sea A el desplazamiento unilateral en l 2 ( N ). Una extensión normal es el desplazamiento bilateral B en l 2 ( Z ) definido por
donde ˆ denota la posición cero. B se puede expresar en términos de la matriz de operadores
Otra extensión normal viene dada por la dilatación unitaria B ' de A definida anteriormente:
cuya acción es descrita por
Minimidad
Por lo tanto, uno está interesado en la extensión normal que es, en cierto sentido, la más pequeña. Más precisamente, un operador normal de B que actúa sobre un espacio de Hilbert K se dice que es una extensión mínima de un subnormal A si K ' ⊂ K es un subespacio reducción de B y H ⊂ K' , entonces K' = K . (Un subespacio es un subespacio reductor de B si es invariante tanto en B como en B * .) [4]
Se puede demostrar que si dos operadores B 1 y B 2 son extensiones mínimas en K 1 y K 2 , respectivamente, entonces existe un operador unitario
Además, se mantiene la siguiente relación entrelazada:
Esto se puede demostrar de forma constructiva. Considere el conjunto S que consta de vectores de la siguiente forma:
Deje K' ⊂ K 1 el subespacio que es el cierre de la envolvente lineal de S . Por definición, K' es invariante bajo B 1 * y contiene H . La normalidad de B 1 y la suposición de que H es invariante bajo B 1 implican que K ' es invariante bajo B 1 . Por lo tanto, K ' = K 1 . El espacio de Hilbert K 2 se puede identificar exactamente de la misma manera. Ahora definimos el operador U de la siguiente manera:
Porque
, el operador U es unitario. El cálculo directo también muestra ( aquí se necesita la suposición de que tanto B 1 como B 2 son extensiones de A )
Cuando no se supone que B 1 y B 2 sean mínimos, el mismo cálculo muestra que la afirmación anterior es válida literalmente, siendo U una isometría parcial .
Referencias
- ^ John B. Conway (1991), "11", La teoría de los operadores subnormales , American Mathematical Soc., P. 27, ISBN 978-0-8218-1536-6, consultado el 15 de junio de 2017
- ^ John B. Conway (1991), "11", La teoría de los operadores subnormales , American Mathematical Soc., P. 29, ISBN 978-0-8218-1536-6, consultado el 15 de junio de 2017
- ^ John B. Conway; Robert F. Olin (1977), Un cálculo funcional para operadores subnormales II , American Mathematical Soc., P. 51, ISBN 978-0-8218-2184-8, consultado el 15 de junio de 2017
- ^ John B. Conway (1991), La teoría de los operadores subnormales , American Mathematical Soc., Págs. 38–, ISBN 978-0-8218-1536-6, consultado el 15 de junio de 2017