En geometría diferencial , una variedad cuaterniónica de Kähler (o variedad cuaterniónica de Kähler ) es una variedad 4n de Riemann cuyo grupo de holonomía de Riemann es un subgrupo de Sp ( n ) · Sp (1) para algunos. Aquí Sp ( n ) es el subgrupo deque consiste en aquellas transformaciones ortogonales que surgen por multiplicación a la izquierda por algún cuaterniónico matriz, mientras que el grupo de cuaterniones de longitud unitaria, en cambio, actúa sobre cuaterniónicos -espacio por multiplicación escalar a la derecha . El grupo de la mentira generado por la combinación de estas acciones es entonces abstractamente isomorfo a .
Aunque la versión flexible anterior de la definición incluye variedades hiperkähler , seguiremos la convención estándar de excluirlas al exigir también que la curvatura escalar sea distinta de cero, como es automáticamente cierto si el grupo de holonomía es igual a todo el grupo Sp ( n ) · Sp ( 1).
Historia temprana
El artículo de Marcel Berger de 1955 [1] sobre la clasificación de los grupos de holonomía de Riemann planteó por primera vez la cuestión de la existencia de variedades no simétricas con holonomía Sp ( n ) · Sp (1), aunque no se construyeron ejemplos de tales variedades hasta la década de 1980. Sin embargo, a pesar de la ausencia total de ejemplos, a mediados de la década de 1960 se demostraron algunos resultados interesantes en el trabajo pionero de Edmond Bonan , Alfred Gray y Vivian Kraines . Por ejemplo, Bonan [2] y Kraines [3] demostraron independientemente que cualquier variedad de este tipo admite una forma 4 paralela.
En el contexto de la clasificación de Berger de las holonomías riemannianas , las variedades cuaternión-Kähler constituyen la única clase de variedades irreductibles y no simétricas de holonomía especial que son automáticamente Einstein , pero no automáticamente Ricci-flat. Si la constante de Einstein de una variedad simplemente conectada con holonomía en es cero, donde , entonces la holonomía está realmente contenida en , y la variedad es hiperkähler . Excluiremos este caso de la definición al declarar que quaternion-Kähler significa no solo que el grupo de holonomía está contenido en, pero también que la variedad tiene una curvatura escalar distinta de cero (constante).
Con esta convención, las variedades de cuaternión-Kähler pueden dividirse naturalmente en aquellas para las que la curvatura de Ricci es positiva y aquellas para las que es negativa.
Ejemplos de
No se conocen ejemplos de variedades compactas de cuaternión-Kähler que no sean localmente simétricas . (Nótese una vez más, sin embargo, que hemos excluido por fiat las variedades hiperkähler de nuestra discusión). Por otro lado, hay muchas variedades simétricas cuaternión-Kähler ; Estos fueron clasificados por primera vez por Joseph A. Wolf , [4] y por eso se conocen como espacios Wolf . Para cualquier grupo de Lie simple G , hay un espacio de Wolf único G / K obtenido como un cociente de G por un subgrupo, dónde es el subgrupo asociado con la más alta de la raíz de G , y K 0 es su centralizador en G . Los espacios Wolf con curvatura Ricci positiva son compactos y están conectados de forma sencilla. Por ejemplo, si, el espacio de Wolf correspondiente es el espacio proyectivo cuaterniónico de líneas cuaterniónicas (derecha) a través del origen en .
Una conjetura a menudo atribuida a LeBrun y Salamon (ver más abajo) afirma que todas las variedades completas de cuaternión-Kähler de curvatura escalar positiva son simétricas. Sin embargo, por el contrario, las construcciones de Galicki-Lawson [5] y de LeBrun [6] muestran que existen en gran profusión variedades completas, no localmente simétricas de cuaternión-Kähler de curvatura escalar negativa . La construcción de Galicki-Lawson que se acaba de citar también da lugar a un gran número de ejemplos compactos orbifold no simétricos localmente con constante de Einstein positiva , y muchos de estos a su vez dan lugar [7] a variedades compactas de Einstein 3-Sasakianas no singulares de dimensión.
Espacios de twistor
Las preguntas sobre variedades de quaternion-Kähler se pueden traducir al lenguaje de la geometría compleja utilizando los métodos de la teoría de twistor ; este hecho está encapsulado en un teorema descubierto independientemente por Salamon y Bérard-Bergery, e inspirado por trabajos anteriores de Penrose. Dejar ser una variedad de quaternion-Kähler, y ser el sub-paquete de que surge de la acción holonómica de . Luego contiene un -manojo que consta de todos que satisfacen . Los puntos de Por tanto, representan estructuras complejas en espacios tangentes de . Usando esto, el espacio totalluego puede equiparse con una estructura tautológica casi compleja . Salamon [8] (e, independientemente, Bérard-Bergery [9] ) demostró que esta estructura casi compleja es integrable, lo que hace en una variedad compleja.
Cuando la curvatura de Ricci de M es positiva, Z es una variedad de Fano y, por lo tanto, en particular, es una variedad compleja algebraica proyectiva suave. Además, se admite un Kähler-Einstein métrico, y, más importante, viene equipado con un holomorphic estructura de contacto , que corresponde a los espacios horizontales de la conexión de Riemann en H . Estos hechos fueron utilizados por LeBrun y Salamon [10] para demostrar que, hasta la isometría y el reescalado, solo hay un número finito de variedades compactas de cuaternión-Kähler de curvatura escalar positiva en cualquier dimensión dada. Este mismo artículo también muestra que cualquier variedad de este tipo es en realidad un espacio simétrico a menos que su segunda homología sea un grupo finito con torsión 2 no trivial. Poon y Salamon [11] también habían utilizado anteriormente técnicas relacionadas para mostrar que no hay ejemplos no simétricos en absoluto en la dimensión 8.
En la dirección inversa, un resultado de LeBrun [12] muestra que cualquier variedad de Fano que admita tanto una métrica de Kähler-Einstein como una estructura de contacto holomórfica es en realidad el espacio de twistor de una variedad de cuaternión-Kähler de curvatura escalar positiva, que además es única hasta isometrías y recalificaciones.
Referencias
- ^ Berger, Marcel (1955). "Sur les groups d'holonomie des variétés à connexion affine et des variétés riemanniennes" (PDF) . Toro. Soc. Matemáticas. Francia . 83 : 279–330. doi : 10.24033 / bsmf.1464 .
- ^ Bonan, Edmond (1965). "Estructura presque quaternale sur une variété diferenciable". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . 261 : 5445–8.
- ^ Kraines, Vivian Yoh (1966). "Topología de variedades cuaterniónicas" (PDF) . Transacciones de la American Mathematical Society . 122 (2): 357–367. doi : 10.1090 / S0002-9947-1966-0192513-X . JSTOR 1994553 .
- ^ Wolf, Joseph A. (1965). "Colectores de contacto homogéneos complejos y espacios simétricos cuaterniónicos". J. Math. Mech . 14 (6): 1033–47. JSTOR 24901319 .
- ^ Galicki, K .; Lawson, HB, Jr. (1988). "Reducción cuaterniónica y orbifolds cuaterniónicos" (PDF) . Matemáticas. Ann . 282 : 1–21. doi : 10.1007 / BF01457009 . S2CID 120748113 .
- ^ LeBrun, Claude (1991). "En colectores de Kähler cuaterniónicos completos" (PDF) . Duke Math. J . 63 (3): 723–743. doi : 10.1215 / S0012-7094-91-06331-3 .
- ^ Boyer, Charles; Galicki, Krzysztof (2008). Geometría Sasakiana . Monografías matemáticas de Oxford. Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-856495-9.
- ^ Salamon, Simon (1982). "Colectores cuaterniónicos de Kähler". Inventar. Matemáticas . 67 : 143-171. Código Bibliográfico : 1982InMat..67..143S . doi : 10.1007 / BF01393378 . S2CID 118575943 .
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- ^ LeBrun, Claude; Salamon, Simon (1994). "Fuerte rigidez de los colectores de cuaternión positivo-Kähler". Inventar. Matemáticas . 118 : 109-132. Código Bibliográfico : 1994InMat.118..109L . doi : 10.1007 / BF01231528 . S2CID 121184428 .
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