En matemáticas , el espacio proyectivo cuaterniónico es una extensión de las ideas de espacio proyectivo real y espacio proyectivo complejo , hasta el caso en que las coordenadas se encuentran en el anillo de cuaterniones. El espacio proyectivo cuaterniónico de dimensión n generalmente se denota por
y es un colector cerrado de dimensión (real) 4 n . Es un espacio homogéneo para una acción grupal de Lie , en más de una forma. La línea proyectiva cuaterniónica es homeomorfo a las 4 esferas.
En coordenadas
Su construcción directa es como un caso especial del espacio proyectivo sobre un álgebra de división . Las coordenadas homogéneas de un punto se pueden escribir
donde el son cuaterniones, no todos cero. Dos conjuntos de coordenadas representan el mismo punto si son "proporcionales" por una multiplicación a la izquierda por un cuaternión c distinto de cero ; es decir, identificamos todos los
- .
En el lenguaje de las acciones grupales ,es el espacio orbital de por la acción de , el grupo multiplicativo de cuaterniones distintos de cero. Proyectando primero sobre la esfera de la unidad en el interior uno también puede considerar como el espacio orbital de por la acción de , el grupo de cuaterniones unitarios. [1] La esferaluego se convierte en un paquete principal de Sp (1) sobre:
Este paquete a veces se denomina fibración de Hopf (generalizada) .
También hay una construcción de por medio de subespacios complejos bidimensionales de , significa que se encuentra dentro de un complejo Grassmannian .
Topología
Teoría de la homotopía
El espacio , definido como la unión de todos los finitos Está bajo inclusión, es el espacio de clasificación BS 3 . Los grupos de homotopía de son dadas por Se sabe que estos grupos son muy complejos y, en particular, no son cero para un número infinito de valores de . Sin embargo, tenemos eso
De ello se deduce que racionalmente, es decir, después de la localización de un espacio ,es un espacio de Eilenberg-Maclane . Es decir(cf. el ejemplo K (Z, 2) ). Ver teoría de la homotopía racional .
En general, tiene una estructura de celda con una celda en cada dimensión que es un múltiplo de 4, hasta . En consecuencia, su anillo de cohomología es, dónde es un generador de 4 dimensiones. Esto es análogo al espacio proyectivo complejo. También se sigue de la teoría de la homotopía racional que tiene infinitos grupos de homotopía solo en las dimensiones 4 y .
Geometría diferencial
lleva una métrica natural de Riemann análoga a la métrica del Estudio Fubini en, con respecto al cual es un espacio compacto simétrico cuaternión-Kähler con curvatura positiva.
El espacio proyectivo cuaterniónico se puede representar como el espacio lateral.
dónde es el grupo simpléctico compacto .
Clases de caracteristicas
Desde , su paquete tangente es establemente trivial. Los paquetes tangentes del resto tienen clases Stiefel-Whitney y Pontryagin no triviales . Las clases totales vienen dadas por las siguientes fórmulas:
dónde es el generador de y es su reducción mod 2. [2]
Casos especiales
Línea proyectiva cuaterniónica
El espacio proyectivo unidimensional sobre se llama "línea proyectiva" en generalización de la línea proyectiva compleja . Por ejemplo, fue utilizado (implícitamente) en 1947 por PG Gormley para extender el grupo de Möbius al contexto del cuaternión con transformaciones fraccionarias lineales . Para las transformaciones fraccionarias lineales de un anillo asociativo con 1, consulte la línea proyectiva sobre un anillo y el grupo de homografía GL (2, A ).
Desde el punto de vista topológico, la línea proyectiva cuaterniónica es la 4-esfera y, de hecho, son variedades difeomórficas . La fibración mencionada anteriormente es de la 7-esfera y es un ejemplo de una fibración de Hopf .
Las expresiones explícitas para las coordenadas de las 4 esferas se pueden encontrar en el artículo sobre la métrica Fubini-Study .
Plano proyectivo cuaterniónico
El 8-dimensional tiene una acción circular , por el grupo de escalares complejos de valor absoluto 1 que actúan en el otro lado (así a la derecha, ya que la convención para la acción de c anterior está a la izquierda). Por lo tanto, la variedad cociente
se puede tomar, escribiendo U (1) para el grupo circular . Se ha demostrado que este cociente es la esfera 7 , resultado de Vladimir Arnold de 1996, redescubierto más tarde por Edward Witten y Michael Atiyah .
Referencias
- ^ Naber, Gregory L. (2011) [1997]. "Motivación física y geométrica" . Campos de topología, geometría y calibre . Textos en Matemática Aplicada. 25 . Saltador. pag. 50. doi : 10.1007 / 978-1-4419-7254-5_0 . ISBN 978-1-4419-7254-5.
- ^ Szczarba, RH (1964). "Sobre haces tangentes de espacios de fibra y espacios de cociente" (PDF) . Revista Estadounidense de Matemáticas . 86 (4): 685–697. doi : 10.2307 / 2373152 . JSTOR 2373152 .
Otras lecturas
- Arnol'd, VI (1999). "Familiares del cociente del plano proyectivo complejo por la conjugación compleja" . Tr. Estera. Inst. Steklova . 224 : 56–6. CiteSeerX 10.1.1.50.6421 . Trata el análogo del resultado mencionado para el espacio proyectivo cuaterniónico y la esfera 13.
- Gormley, PG (1947), "Proyección estereográfica y el grupo fraccional lineal de transformaciones de cuaterniones", Actas de la Real Academia Irlandesa, Sección A , 51 : 67–85, JSTOR 20488472