Carcaj (matemáticas)
En matemáticas , un carcaj es un gráfico dirigido donde se permiten bucles y flechas múltiples entre dos vértices , es decir, un multidígrafo . Se utilizan comúnmente en la teoría de la representación : una representación V de un carcaj asigna un espacio vectorial V ( x ) a cada vértice x del carcaj y un mapa lineal V ( a ) a cada flecha a .
En la teoría de categorías , un carcaj puede entenderse como la estructura subyacente de una categoría , pero sin composición o designación de morfismos de identidad. Es decir, hay un funtor olvidadizo de Cat a Quiv . Su adjunto izquierdo es un funtor libre que, a partir de un carcaj, forma la categoría libre correspondiente .
Un morfismo de carcajes se define de la siguiente manera. Si y son dos carcajes, entonces un morfismo de carcajes consta de dos funciones y tales que los siguientes diagramas conmutan :
La definición anterior se basa en la teoría de conjuntos ; la definición de teoría de categorías generaliza esto en un funtor del carcaj libre a la categoría de conjuntos .
El carcaj libre (también llamado carcaj andante, carcaj de Kronecker, carcaj de 2 Kronecker o categoría de Kronecker ) Q es una categoría con dos objetos y cuatro morfismos: los objetos son V y E. Los cuatro morfismos son s : E → V , t : E → V , y los morfismos de identidad id V : V → V e id E : E → E. Es decir, el carcaj libre es
Más generalmente, un carcaj en una categoría C es un funtor Γ : Q → C. La categoría Quiv ( C ) de quivers en C es la categoría funtor donde: