En matemáticas , una categoría de cociente es una categoría que se obtiene de otra mediante la identificación de conjuntos de morfismos . Formalmente, es un objeto cociente en la categoría de categorías (localmente pequeñas) , análogo a un grupo de cocientes o espacio de cocientes , pero en el marco categórico.
Definición
Sea C una categoría. Una relación de congruencia R sobre C viene dada por: para cada par de objetos X , Y en C , una relación de equivalencia R X , Y sobre Hom ( X , Y ), de manera que las relaciones de equivalencia respetan la composición de morfismos. Es decir, si
están relacionados en Hom ( X , Y ) y
están relacionados en Hom ( Y , Z ), entonces g 1 f 1 y g 2 f 2 están relacionados en Hom ( X , Z ).
Dada una relación de congruencia R en C podemos definir la categoría cociente C / R como la categoría cuyos objetos son los de C y cuya morfismos son clases de equivalencia de morfismos en C . Es decir,
La composición de morfismos en C / R está bien definida ya que R es una relación de congruencia.
Propiedades
Hay un cociente natural functor de C a C / R que envía cada morfismo a su clase de equivalencia. Este funtivo es biyectivo en objetos y sobreyectivo en Hom-sets (es decir, es un funtor completo ).
Cada funtor F : C → D determina una congruencia en C diciendo f ~ g sif F ( f ) = F ( g ). El funtor F luego factoriza a través del cociente funtor C → C / ~ de una manera única. Esto puede considerarse como el " primer teorema de isomorfismo " para los functores.
Ejemplos de
- Los monoides y los grupos pueden considerarse categorías con un objeto. En este caso, la categoría del cociente coincide con la noción de cociente monoide o cociente de grupo .
- La categoría de homotopía de espacios topológicos hTop es una categoría de cociente de Top , la categoría de espacios topológicos . Las clases de equivalencia de morfismos son clases de homotopía de mapas continuos.
- Sea k un campo y considere la categoría abeliana Mod ( k ) de todos los espacios vectoriales sobre k con k -mapas lineales como morfismos. Para "matar" todos los espacios de dimensión finita, podemos llamar a dos mapas lineales f , g : X → Y congruentes si su diferencia tiene una imagen de dimensión finita. En la categoría de cociente resultante, todos los espacios vectoriales de dimensión finita son isomorfos a 0. [Este es en realidad un ejemplo de un cociente de categorías aditivas, ver más abajo].
Conceptos relacionados
Cocientes de categorías aditivas módulo ideales
Si C es una categoría aditiva y requerimos que la relación de congruencia ~ en C sea aditiva (es decir, si f 1 , f 2 , g 1 y g 2 son morfismos de X a Y con f 1 ~ f 2 y g 1 ~ g 2 , luego f 1 + f 2 ~ g 1 + g 2 ), entonces la categoría de cociente C / ~ también será aditiva, y el funtor de cociente C → C / ~ será un funtor aditivo.
El concepto de una relación de congruencia aditiva es equivalente al concepto de un ideal bilateral de morfismos : para dos objetos cualesquiera X e Y se nos da un subgrupo aditivo I ( X , Y ) de Hom C ( X , Y ) tal que para todo f ∈ I ( X , Y ), g ∈ Hom C ( Y , Z ) y h ∈ Hom C ( W , X ), tenemos gf ∈ I ( X , Z ) y fh ∈ I ( W , Y ) . Dos morfismos en Hom C ( X , Y ) son congruentes si su diferencia está en I ( X , Y ).
Cada anillo unital puede verse como una categoría aditiva con un solo objeto, y el cociente de categorías aditivas definido anteriormente coincide en este caso con la noción de un anillo cociente módulo un ideal bilateral.
Localización de una categoría
La localización de una categoría introduce nuevos morfismos para convertir varios de los morfismos de la categoría original en isomorfismos. Esto tiende a aumentar el número de morfismos entre objetos, en lugar de disminuirlo como en el caso de las categorías de cocientes. Pero en ambas construcciones sucede a menudo que dos objetos se vuelven isomorfos que no eran isomorfos en la categoría original.
Cocientes de Serre de categorías abelianas
El cociente de Serre de una categoría abeliana por una subcategoría de Serre es una nueva categoría abeliana que es similar a una categoría de cociente pero también en muchos casos tiene el carácter de una localización de la categoría.
Referencias
- Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas . 5 (Segunda ed.). Springer-Verlag.