En matemáticas , en el campo de la teoría de números , la ecuación de Ramanujan-Nagell es una ecuación entre un número cuadrado y un número que es siete menos que una potencia de dos . Es un ejemplo de una ecuación diofántica exponencial , una ecuación a resolver en números enteros donde una de las variables aparece como exponente . Lleva el nombre de Srinivasa Ramanujan , quien conjeturó que solo tiene cinco soluciones enteras, y de Trygve Nagell , quien demostró la conjetura.
Ecuación y solución
La ecuación es
y las soluciones en números naturales n y x existen solo cuando n = 3, 4, 5, 7 y 15 (secuencia A060728 en la OEIS ).
Esto fue conjeturado en 1913 por el matemático indio Srinivasa Ramanujan , propuesto independientemente en 1943 por el matemático noruego Wilhelm Ljunggren , y probado en 1948 por el matemático noruego Trygve Nagell . Los valores de n corresponden a los valores de x como: -
Números triangulares de Mersenne
El problema de encontrar todos los números de la forma 2 b - 1 ( números de Mersenne ) que son triangulares es equivalente:
Los valores de b son solo los de n - 3, y los números triangulares de Mersenne correspondientes (también conocidos como números de Ramanujan-Nagell ) son:
para x = 1, 3, 5, 11 y 181, dando 0, 1, 3, 15, 4095 y no más (secuencia A076046 en la OEIS ).
Ecuaciones de tipo Ramanujan-Nagell
Una ecuación de la forma
para D , A , B fijos y x variable , se dice que n es del tipo Ramanujan-Nagell . Un resultado de Siegel implica que el número de soluciones en cada caso es finito. [2] La ecuación con A = 1, B = 2 tiene como máximo dos soluciones excepto en el caso D = 7 ya mencionado. Hay infinitos valores de D para los cuales hay dos soluciones, incluyendo. [3]
Ecuaciones de tipo Lebesgue-Nagell
Una ecuación de la forma
para D , A fijos y x , y , n variables se dice que es del tipo Lebesgue-Nagell . Esto lleva el nombre de Victor-Amédée Lebesgue , quien demostró que la ecuación
no tiene soluciones no triviales. [4]
Los resultados de Shorey y Tijdeman implican que el número de soluciones en cada caso es finito. [5] Bugeaud, Mignotte y Siksek resolvieron ecuaciones de este tipo con A = 1 y 1 ≤ D ≤ 100. [6] En particular, la ecuación extendida de la ecuación original de Ramanujan-Nagell
tiene las únicas soluciones enteras positivas cuando x = 1, 3, 5, 11 y 181.
Ver también
Referencias
- Lebesgue (1850). "Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation x m = y 2 + 1" . Nouv. Ana. Matemáticas . Serie 1, 9 : 178-181.
- S. Ramanujan (1913). "Pregunta 464". J. Indian Math. Soc . 5 : 130.
- W. Ljunggren (1943). "Oppgave nr 2". Norsk Mat. Tidsskr . 25 : 29.
- T. Nagell (1948). "Løsning hasta oppgave nr 2". Norsk Mat. Tidsskr . 30 : 62–64.
- T. Nagell (1961). "La ecuación diofántica x 2 + 7 = 2 n " . Ark. Mat . 30 (2-3): 185-187. Código Bibliográfico : 1961ArM ..... 4..185N . doi : 10.1007 / BF02592006 .
- Yann Bugeaud; Maurice Mignotte; Samir Siksek (2006). "Enfoques clásicos y modulares de ecuaciones diofánticas exponenciales II. La ecuación de Lebesgue-Nagell". Compos. Matemáticas . 142 : 31–62. arXiv : matemáticas / 0405220 . doi : 10.1112 / S0010437X05001739 . S2CID 18534268 .
- Shorey, TN; Tijdeman, R. (1986). Ecuaciones exponenciales diofánticas . Cambridge Tracts in Mathematics. 87 . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 137-138. ISBN 0-521-26826-5. Zbl 0606.10011 .
- Saradha, N .; Srinivasan, Anitha (2008). "Ecuaciones generalizadas de Lebesgue-Ramanujan-Nagell". En Saradha, N. (ed.). Ecuaciones diofánticas . Narosa. págs. 207–223. ISBN 978-81-7319-898-4.
enlaces externos
- "Valores de X correspondientes a N en la ecuación de Ramanujan-Nagell" . Wolfram MathWorld . Consultado el 8 de mayo de 2012 .
- ¿Puede N 2 + N + 2 ser una potencia de 2? , Discusión del foro de matemáticas