En matemáticas , la función de Euler viene dada por
El nombre de Leonhard Euler , es un ejemplo de modelo de un Q -series , una forma modular , y proporciona el ejemplo prototípico de una relación entre la combinatoria y análisis complejo .
Propiedades
El coeficiente en la expansión formal de la serie de energía parada el número de particiones de k . Es decir,
dónde es la función de partición .
La identidad de Euler , también conocida como el teorema del número pentagonal , es
Tenga en cuenta que es un número pentagonal .
La función de Euler está relacionada con la función eta de Dedekind a través de una identidad Ramanujan como
dónde es el cuadrado del nomo . Tenga en cuenta que ambas funciones tienen la simetría del grupo modular .
La función de Euler se puede expresar como un símbolo q -Pochhammer :
El logaritmo de la función de Euler es la suma de los logaritmos en la expresión del producto, cada uno de los cuales puede expandirse alrededor de q = 0, dando como resultado
que es una serie de Lambert con coeficientes -1 / n . Por tanto, el logaritmo de la función de Euler puede expresarse como
dónde - [1/1, 3/2, 4/3, 7/4, 6/5, 12/6, 8/7, 15/8, 13/9, 18/10, ...] (ver OEIS A000203 )
Por la identidad esto también puede escribirse como
También si y , luego [1]
Valores especiales
Las siguientes identidades provienen del cuaderno perdido de Ramanujan , Parte V, p. 326.
Usando el teorema del número pentagonal , intercambiando suma e integral , y luego invocando métodos analíticos complejos, se deriva
[Este resultado necesita referencias concretas, ya que no he podido verificarlo]
Referencias
- ^ Berndt, B. et al. "La fracción continua de Rogers-Ramanujan"
- Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929 , Zbl 0.335,10001