En el análisis grupal de renormalización de las transiciones de fase en física , una dimensión crítica es la dimensionalidad del espacio en la que cambia el carácter de la transición de fase. Por debajo de la dimensión crítica inferior no hay transición de fase. Por encima de la dimensión crítica superior, los exponentes críticos de la teoría se vuelven los mismos que en la teoría del campo medio . Un criterio elegante para obtener la dimensión crítica dentro de la teoría del campo medio se debe a V. Ginzburg .
Dado que el grupo de renormalización establece una relación entre una transición de fase y una teoría cuántica de campos , esto tiene implicaciones para esta última y para nuestra comprensión más amplia de la renormalización en general. Por encima de la dimensión crítica superior, la teoría cuántica del campo que pertenece al modelo de la transición de fase es una teoría del campo libre . Por debajo de la dimensión crítica inferior, no hay teoría de campo correspondiente al modelo.
En el contexto de la teoría de cuerdas, el significado es más restringido: la dimensión crítica es la dimensión en la que la teoría de cuerdas es consistente asumiendo un fondo de dilatón constante sin permutaciones de confusión adicionales de los efectos de la radiación de fondo. El número exacto puede ser determinado por la cancelación requerida de anomalía conforme en la hoja del mundo ; es 26 para la teoría de cuerdas bosónicas y 10 para la teoría de supercuerdas .
Dimensión crítica superior en la teoría de campo
Determinar la dimensión crítica superior de una teoría de campo es una cuestión de álgebra lineal . Vale la pena formalizar el procedimiento porque produce la aproximación de orden más bajo para la escala y la entrada esencial para el grupo de renormalización . También revela las condiciones para tener un modelo crítico en primer lugar.
Un lagrangiano puede escribirse como una suma de términos, cada uno de los cuales consta de una integral sobre un monomio de coordenadas y campos . Los ejemplos son el estándar-modelo y el punto tricrítico isotrópico Lifshitz con lagrangianos
vea también la figura de la derecha. Esta estructura simple puede ser compatible con una invariancia de escala bajo un cambio de escala de las coordenadas y campos con un factor de acuerdo a
El tiempo no se destaca aquí, es solo otra coordenada: si el Lagrangiano contiene una variable de tiempo, entonces esta variable se reescalará como con algún exponente constante . El objetivo es determinar el conjunto de exponentes.
Un exponente, digamos , puede elegirse arbitrariamente, por ejemplo . En el lenguaje del análisis dimensional esto significa que los exponentescontar los factores del vector de onda (una longitud recíproca ). Cada monomio del Lagrangiano conduce así a una ecuación lineal homogénea para los exponentes . Si hay (desigual) coordenadas y campos en el Lagrangiano, luego tales ecuaciones constituyen una matriz cuadrada. Si esta matriz fuera invertible, solo existiría la solución trivial.
La condición para una solución no trivial da una ecuación entre las dimensiones del espacio, y esto determina la dimensión crítica superior (siempre que solo haya una dimensión variable en el Lagrangiano). Una redefinición de las coordenadas y los campos ahora muestra que determinar los exponentes de escala es equivalente a un análisis dimensional con respecto al vector de onda , con todas las constantes de acoplamiento que ocurren en el Lagrangiano convertido en adimensional. Las constantes de acoplamiento adimensionales son el sello técnico de la dimensión crítica superior.
La escala ingenua al nivel del Lagrangiano no se corresponde directamente con la escala física porque se requiere un límite para dar un significado a la teoría de campo y la integral de trayectoria . Cambiar la escala de longitud también cambia el número de grados de libertad. Esta complicación la tiene en cuenta el grupo de renormalización . El resultado principal en la dimensión crítica superior es que la invarianza de escala sigue siendo válida para factores grandes, pero con adicional factores en la escala de las coordenadas y campos.
¿Qué pasa abajo o arriba? depende de si uno está interesado en distancias largas ( teoría estadística de campos ) o distancias cortas ( teoría cuántica de campos ). Las teorías cuánticas de campo son triviales (convergentes) a continuación y no renormalizable arriba . [1] Las teorías de campo estadístico son triviales (convergentes) arriba y renormalizable a continuación . En el último caso surgen contribuciones "anómalas" a los exponentes de escala ingenuos. Estas contribuciones anómalas a los exponentes críticos efectivos se desvanecen en la dimensión crítica superior.
Es instructivo ver cómo la invariancia de escala en la dimensión crítica superior se convierte en una invariancia de escala por debajo de esta dimensión. Para pequeños vectores de onda externos, las funciones de vértice adquirir exponentes adicionales, por ejemplo . Si estos exponentes se insertan en una matriz (que solo tiene valores en la primera columna) la condición para la invariancia de escala se convierte en . Esta ecuación solo puede satisfacerse si los exponentes anómalos de las funciones de vértice cooperan de alguna manera. De hecho, las funciones de vértice dependen unas de otras jerárquicamente. Una forma de expresar esta interdependencia son las ecuaciones de Dyson-Schwinger .
Escalado ingenuo en por tanto, es importante como aproximación de orden cero. La escala ingenua en la dimensión crítica superior también clasifica los términos del lagrangiano como relevantes, irrelevantes o marginales. Un lagrangiano es compatible con el escalado si el- y -exponentes acostarse sobre un hiperplano, para ver ejemplos, consulte la figura anterior. es un vector normal de este hiperplano.
Dimensión crítica inferior
La dimensión crítica inferior de una transición de fase de una clase de universalidad dada es la última dimensión para la cual esta transición de fase no ocurre si la dimensión se incrementa comenzando con.
La estabilidad termodinámica de una fase ordenada depende de la entropía y la energía. Cuantitativamente, esto depende del tipo de paredes de dominio y sus modos de fluctuación. No parece haber una forma formal genérica para derivar la dimensión crítica inferior de una teoría de campo. Los límites inferiores se pueden derivar con argumentos de mecánica estadística .
Considere primero un sistema unidimensional con interacciones de corto alcance. Crear un muro de dominio requiere una cantidad de energía fija. Extraer esta energía de otros grados de libertad disminuye la entropía en. Este cambio de entropía debe compararse con la entropía de la propia pared del dominio. [2] En un sistema de longitud existen posiciones para el muro de dominio, lo que lleva (según el principio de Boltzmann ) a una ganancia de entropía. Para temperatura distinta de cero y lo suficientemente grande, la ganancia de entropía siempre domina y, por lo tanto, no hay transición de fase en sistemas unidimensionales con interacciones de corto alcance en . Dimensión espacial por tanto, es un límite inferior para la dimensión crítica inferior de tales sistemas.
Un límite inferior más fuerte se puede derivar con la ayuda de argumentos similares para sistemas con interacciones de corto alcance y un parámetro de orden con una simetría continua. En este caso, el Teorema de Mermin-Wagner establece que el valor esperado del parámetro de orden desaparece en a , y por lo tanto no hay una transición de fase del tipo habitual en y por debajo.
Para los sistemas con desorden sofocado, un criterio dado por Imry y Ma [3] podría ser relevante. Estos autores utilizaron el criterio para determinar la dimensión crítica más baja de los imanes de campo aleatorio.
Referencias
- ^ Zinn-Justin, Jean (1996). Teoría cuántica de campos y fenómenos críticos . Oxford: Clarendon Press . ISBN 0-19-851882-X.
- ^ Pitaevskii, LP; Landau, LD; Lifshitz, EM; Sykes, JB; Kearsley, MW; Lifshitz, EM (1991). Física estadística . Oxford: Butterworth-Heinemann . ISBN 0-7506-3372-7.
- ^ Imry, Y .; SK Ma (1975). "Inestabilidad de campo aleatorio del estado ordenado de simetría continua". Phys. Rev. Lett . 35 (21): 1399–1401. Código Bibliográfico : 1975PhRvL..35.1399I . doi : 10.1103 / PhysRevLett.35.1399 .
enlaces externos
- Kanon: un programa gratuito de Windows para determinar la dimensión crítica superior, con ejemplos, ayuda en línea y detalles matemáticos