En cálculo , la regla del recíproco da la derivada del recíproco de una función f en términos de la derivada de f . La regla recíproca se puede usar para mostrar que la regla de la potencia es válida para exponentes negativos si ya se ha establecido para exponentes positivos. Además, se puede deducir fácilmente la regla del cociente a partir de la regla recíproca y la regla del producto .
La regla recíprocas que si f es diferenciable en un punto x y f ( x ) ≠ 0 entonces g ( x ) = 1 / f ( x ) también es diferenciable en x y
Se puede argumentar que dado que
una aplicación de la regla del producto dice que
y esto puede reorganizarse algebraicamente para decir
Sin embargo, esto no demuestra que 1 / f sea diferenciable en x ; es válido sólo cuando la diferenciabilidad de 1 / f en x ya está establecida. De esa manera, es un resultado más débil que la regla recíproca probada anteriormente. Sin embargo, en el contexto del álgebra diferencial , en el que no hay nada que no sea diferenciable y en el que las derivadas no están definidas por límites, es así como se establecen la regla recíproca y la regla del cociente más general.
A menudo, la regla del poder, afirmando que , se demuestra mediante métodos que son válidos solo cuando n es un número entero no negativo. Esto se puede extender a enteros negativos n dejando, donde m es un número entero positivo.
La regla recíproca es un caso especial de la regla del cociente, que establece que si f y g son diferenciables en x y g ( x ) ≠ 0 entonces
La regla del cociente se puede demostrar escribiendo
y luego primero aplicando la regla del producto, y luego aplicando la regla recíproca al segundo factor.
Al usar la regla recíproca, se puede encontrar la derivada de las funciones secante y cosecante.
Para la función secante:
La cosecante se trata de manera similar: