En matemáticas , un conjunto rectificable es un conjunto que es uniforme en un cierto sentido de la teoría de la medida. Es una extensión de la idea de una curva rectificable a dimensiones superiores; En términos generales, un conjunto rectificable es una formulación rigurosa de un conjunto liso por piezas. Como tal, tiene muchas de las propiedades deseables de los colectores suaves , incluidos los espacios tangentes que se definen en casi todas partes . Los conjuntos rectificables son el objeto de estudio subyacente en la teoría de medidas geométricas .
Definición
Un subconjunto de Borel del espacio euclidiano se ha dicho -conjunto rectificable sies de dimensión de Hausdorff , y existe una colección contable de mapas continuamente diferenciables
tal que el - Medida de Hausdorff de
es cero. La barra invertida aquí denota la diferencia de conjuntos . De manera equivalente, elpuede tomarse como Lipschitz continuo sin alterar la definición. [1] [2] [3] Otros autores tienen definiciones diferentes, por ejemplo, no requieren ser - estar -dimensional, pero en su lugar requiere que es una unión contable de conjuntos que son la imagen de un mapa de Lipschitz de algún subconjunto acotado de . [4]
Un conjunto se dice que es puramente-inrectificable si para cada (continuo, diferenciable), uno tiene
Un ejemplo estándar de un conjunto puramente 1 no rectificable en dos dimensiones es el producto cruzado de los tiempos establecidos de Smith-Volterra-Cantor .
Conjuntos rectificables en espacios métricos
Federer (1969 , pp. 251-252) da la siguiente terminología para m conjuntos -rectifiable E en un espacio métrico general X .
- E esrectificable cuando existe un mapa de Lipschitz para algún subconjunto acotado de sobre .
- E es contablementerectificable cuando E es igual a la unión de una familia contable de Conjuntos rectificables.
- E es contablementerectificable cuandoes una medida en X y hay un contablerectificable conjunto F tal que.
- E esrectificable cuando E es contable rectificable y
- E es puramenteno rectificable cuandoes una medida en X y E no incluyeconjunto rectificable F con.
Definición 3 con y se acerca más a la definición anterior para subconjuntos de espacios euclidianos.
Notas
- ^ Simon 1984 , p. 58, llama a esta definición "contablemente m- rectificable".
- ^ "Conjunto rectificable" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- ^ Weisstein, Eric W. "Conjunto rectificable" . MathWorld . Consultado el 17 de abril de 2020 .
- ^ Federer (1969 , págs. 3.2.14)
Referencias
- Federer, Herbert (1969), Teoría de la medida geométrica , Die Grundlehren der mathischen Wissenschaften, 153 , Nueva York: Springer-Verlag, págs. Xiv + 676, ISBN 978-3-540-60656-7, MR 0257325
- TCO'Neil (2001) [1994], "Teoría de la medida geométrica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Simon, Leon (1984), Lectures on Geometric Measure Theory , Proceedings of the Center for Mathematical Analysis, 3 , Canberra : Center for Mathematics and its Applications (CMA), Australian National University , págs. VII + 272 (erratas sueltas), ISBN 0-86784-429-9, Zbl 0546.49019