En la teoría de anillos y áreas relacionadas de las matemáticas un álgebra simple central de ( CSA ) más de un campo K es una dimensión finita asociativo K -algebra A , que es sencillo , y para el cual el centro es exactamente K . Como ejemplo, observe que cualquier álgebra simple es un álgebra simple central sobre su centro.
Por ejemplo, los números complejos C forman un CSA sobre sí mismos, pero no sobre los números reales R (el centro de C es todo C , no solo R ). Los cuaterniones H forman un CSA de 4 dimensiones sobre R , y de hecho representan el único elemento no trivial del grupo Brauer de los reales (ver más abajo).
Dadas dos álgebras centrales simples A ~ M ( n , S ) y B ~ M ( m , T ) sobre el mismo campo , F , A y B se denominan similares (o equivalentes de Brauer ) si sus anillos de división S y T son isomórficos. El conjunto de todas las clases de equivalencia de álgebras centrales simples sobre un campo F dado , bajo esta relación de equivalencia, puede equiparse con una operación de grupo dada por elproducto tensorial de álgebras . El grupo resultante se denomina el grupo Brauer Br ( F ) del campo F . [1] Siempre es un grupo de torsión . [2]
Llamamos a un campo E un campo de división para A sobre K si A ⊗ E es isomorfo a un anillo de matriz sobre E. Cada CSA de dimensión finita tiene un campo de división: de hecho, en el caso de que A sea un álgebra de división, entonces un subcampo máximo de A es un campo de división. En general, según los teoremas de Wedderburn y Koethe, existe un campo de división que es una extensión separable de K de grado igual al índice de A , y este campo de división es isomorfo a un subcampo de A.[12] [13] Como ejemplo, el campo C divide el álgebra de cuaterniones H sobre R con
Podemos utilizar la existencia del cuerpo de descomposición para definir la norma reducida y reducida huella de CSA A . [14] Asigne A a un anillo de matriz sobre un campo de división y defina la norma reducida y la traza para que sean la combinación de este mapa con determinante y traza, respectivamente. Por ejemplo, en el álgebra de cuaterniones H , la división anterior muestra que el elemento t + x i + y j + z k tiene una norma reducida t 2 + x 2 + y 2 + z 2y traza reducida 2 t .
La norma reducida es multiplicativa y la traza reducida es aditiva. Un elemento a de A es invertible si y solo si su norma reducida es distinta de cero: por lo tanto, un CSA es un álgebra de división si y solo si la norma reducida es distinta de cero en los elementos distintos de cero. [15]