Lista de politopos y compuestos regulares
Este artículo enumera los politopos regulares y los compuestos de politopos regulares en espacios euclidianos , esféricos e hiperbólicos .
El símbolo de Schläfli describe cada mosaico regular de una n -esfera, espacios euclidianos e hiperbólicos. Un símbolo de Schläfli que describe un n -politopo describe de manera equivalente una teselación de una ( n - 1) -esfera. Además, la simetría de un politopo regular o teselado se expresa como un grupo de Coxeter , que Coxeter expresó de forma idéntica al símbolo de Schläfli, excepto delimitando por corchetes, notación que se denomina notación de Coxeter . Otro símbolo relacionado es el diagrama de Coxeter-Dynkinque representa un grupo de simetría sin anillos, y representa un politopo regular o teselado con un anillo en el primer nodo. Por ejemplo, el cubo tiene el símbolo de Schläfli {4,3}, y con su simetría octaédrica , [4,3] o
, está representado por el diagrama de Coxeter 
.
Los politopos regulares se agrupan por dimensión y se subagrupan por formas convexas, no convexas e infinitas. Las formas no convexas usan los mismos vértices que las formas convexas, pero tienen facetas que se cruzan . Las formas infinitas teselan un espacio euclidiano de una dimensión inferior.
Las formas infinitas se pueden extender para teselar un espacio hiperbólico . El espacio hiperbólico es como el espacio normal a pequeña escala, pero las líneas paralelas divergen en la distancia. Esto permite que las figuras de vértice tengan defectos de ángulo negativo , como hacer un vértice con siete triángulos equiláteros y permitir que quede plano. No se puede hacer en un plano regular, pero se puede hacer en la escala correcta de un plano hiperbólico.
Una definición más general de politopos regulares que no tienen símbolos Schläfli simples incluye politopos oblicuos regulares y apeirotopos oblicuos regulares con facetas no planas o figuras de vértice .
Tenga en cuenta que a las teselaciones euclidianas e hiperbólicas se les da una dimensión más de lo que se esperaría. Esto se debe a una analogía con los politopos finitos: un n -politopo regular convexo se puede ver como una teselación de un espacio esférico ( n −1) dimensional. Así, las tres teselaciones regulares del plano euclidiano (por triángulos, cuadrados y hexágonos) se enumeran bajo la dimensión tres en lugar de dos.
