En la teoría de grafos topológicos , el dual de Petrie de un grafo incrustado (en una variedad de 2 con discos de todas las caras) es otro gráfico incrustado que tiene los polígonos de Petrie de la primera incrustación como caras. [1]
El dual de Petrie también se llama Petrial , y el dual de Petrie de un gráfico incrustado puede ser denotado . [2] Puede obtenerse de un sistema de rotación con signo o una representación gráfica de cinta de la incrustación girando cada borde de la incrustación.
Propiedades
Al igual que el gráfico dual habitual , repetir la operación dual de Petrie dos veces vuelve a la incrustación de superficie original. A diferencia del gráfico dual habitual (que es una incrustación de un gráfico generalmente diferente en la misma superficie), el Petrie dual es una incrustación del mismo gráfico en una superficie generalmente diferente. [1]
La dualidad de superficie y la dualidad de Petrie son dos de las seis operaciones de Wilson , y juntas generan el grupo de estas operaciones. [3]
Poliedros regulares
La aplicación del dual de Petrie a un poliedro regular produce un mapa regular . [2] El número de caras oblicuas h -gonales es g / 2 h , donde g es el orden del grupo y h es el número de coxeter del grupo.
Por ejemplo, el dual de Petrie de un cubo (un gráfico bipartito con ocho vértices y doce aristas, incrustado en una esfera con seis caras cuadradas) tiene cuatro [4] caras hexagonales, los ecuadores del cubo. Topológicamente, forma una incrustación del mismo gráfico en un toro. [1]
Los mapas regulares obtenidos de esta manera son los siguientes.
- El tetraedro petrial , {3,3} π , tiene 4 vértices, 6 aristas y 3 caras cuadradas oblicuas. Con una característica de Euler , χ , de 1, es topológicamente idéntico al hemicubo , {4,3} / 2.
- El cubo petrial , {4,3} π , tiene 8 vértices, 12 aristas y 4 hexágonos oblicuos, de color rojo, verde, azul y naranja aquí. Con una característica de Euler de 0, también se puede ver en las cuatro caras hexagonales del mosaico hexagonal como tipo {6,3} (2,0) .
- El octaedro petrial , {3,4} π , tiene 6 vértices, 12 aristas y 4 caras hexagonales oblicuas. Tiene una característica de Euler de -2, y tiene una correspondencia con el mosaico hexagonal de orden hiperbólico 4 , como tipo {6,4} 3 .
- El dodecaedro petrial , {5,3} π , tiene 20 vértices, 30 aristas y 6 caras decagonales oblicuas, y la característica de Euler de -4, relacionada con el mosaico hiperbólico de tipo {10,3} 5 .
- El icosaedro petrial , {3,5} π , tiene 12 vértices, 30 aristas y 6 caras decagonales sesgadas, y la característica de Euler de −12, relacionada con el mosaico hiperbólico de tipo {10,5} 3 .
Nombre | Petrial tetraedro | Cubo petrial | Petrial octaedro | Petrial dodecaedro | Petrial icosaedro |
---|---|---|---|---|---|
Símbolo | {3,3} π , {4,3} 3 | {4,3} π , {6,3} 4 | {3,4} π , {6,4} 3 | {5,3} π , {10,3} | {3,5} π , {10,5} |
(v, e, f), χ | (4,6,3), χ = 1 | (8,12,4), χ = 0 | (6,12,4), χ = −2 | (20,30,6), χ = −4 | (12,30,6), χ = −12 |
Caras | 3 cuadrados oblicuos![]() | 4 hexágonos sesgados | 6 decagones sesgados | ||
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Imagen | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Animación | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Figuras relacionadas | ![]() {4,3} 3 = {4,3} / 2 = {4,3} (2,0) | ![]() {6,3} 3 = {6,3} (2,0) | ![]() {6,4} 3 = {6,4} (4,0) | {10,3} 5 | {10,5} 3 |
También hay 4 petriales de los poliedros de Kepler-Poinsot :
- El gran dodecaedro petrial , {5,5 / 2} π , tiene 12 vértices, 30 aristas y 10 caras hexagonales oblicuas con una característica de Euler , χ , de -8.
- El pequeño dodecaedro estrellado petrial , {5 / 2,5} π , tiene 12 vértices, 30 aristas y 10 caras hexagonales oblicuas con χ de -8.
- El gran icosaedro petrial , {3,5 / 2} π , tiene 12 vértices, 30 aristas y 6 caras de decagramo sesgadas con χ de -12.
- El gran dodecaedro estrellado petrial , {5 / 2,3} π , tiene 20 vértices, 30 aristas y 6 caras de decagramo sesgadas con χ de -4.
Nombre | Gran dodecaedro petrial | Pequeño dodecaedro estrellado petrial | Gran icosaedro petrial | Gran dodecaedro estrellado petrial |
---|---|---|---|---|
Símbolo | {5,5 / 2} π , {6,5 / 2} | {5 / 2,5} π , {6,5} | {3,5 / 2} π , {10 / 3,5 / 2} | {5 / 2,3} π , {10 / 3,3} |
(v, e, f), χ | (12,30,10), χ = -8 | (12,30,10), χ = -8 | (12,30,6), χ = -12 | (20,30,6), χ = -4 |
Caras | 10 hexágonos sesgados | 6 decagramas de sesgo (un decagrama azul delineado) | ||
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Referencias
- ↑ a b c Gorini, Catherine A. (2000), Geometry at Work , MAA Notes, 53 , Cambridge University Press, p. 181, ISBN 9780883851647
- ^ a b McMullen, Peter; Schulte, Egon (2002), Politopos regulares abstractos , Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones, 92 , Cambridge University Press, p. 192, ISBN 9780521814966
- ^ Jones, GA; Thornton, JS (1983), "Operaciones en mapas y automorfismos externos", Journal of Combinatorial Theory , Serie B, 35 (2): 93–103, doi : 10.1016 / 0095-8956 (83) 90065-5 , MR 0733017
- ^ La simetría octaédrica es de orden 48, el número de Coxeter es 6, 48 / (2 × 6) = 4