En geometría , un apeiroedro sesgado regular es un poliedro sesgado regular infinito , con caras regulares sesgadas o figuras de vértices regulares sesgadas .
Historia
Según Coxeter , en 1926 John Flinders Petrie generalizó el concepto de polígonos de sesgo regular ( polígonos no planos) a poliedros de sesgo regular finitos en 4 dimensiones y apeiroedros de sesgo regular infinito en 3 dimensiones (descrito aquí).
Coxeter identificó 3 formas, con caras planas y figuras de vértice sesgadas , dos se complementan entre sí. Todos se nombran con un símbolo de Schläfli modificado { l , m | n }, donde hay l -caras gonales, m caras alrededor de cada vértice, con agujeros identificados como n -caras faltantes.
Coxeter ofreció un símbolo de Schläfli modificado { l , m | n } para estas figuras, con { l , m } implicando la figura del vértice , m l-gons alrededor de un vértice y n -agujeros gonales. Sus figuras de vértice son polígonos sesgados , zigzagueando entre dos planos.
Los poliedros de sesgo regular, representados por { l , m | n }, sigue esta ecuación:
- 2 sin ( π / l ) · sin ( π / m ) = cos ( π / n )
Apeiroedros oblicuos regulares del espacio tridimensional euclidiano
Las tres soluciones euclidianas en el espacio tridimensional son {4,6 | 4}, {6,4 | 4} y {6,6 | 3}. John Conway los nombró mucube, muoctahedron y mutetrahedron respectivamente para cubo múltiple, octaedro y tetraedro. [1]
- Mucube : {4,6 | 4}: 6 cuadrados alrededor de cada vértice (relacionado con el panal cúbico , construido por celdas cúbicas, eliminando dos caras opuestas de cada una y uniendo conjuntos de seis alrededor de un cubo sin rostro ).
- Muoctaedro : {6,4 | 4}: 4 hexágonos alrededor de cada vértice (relacionado con un panal cúbico bitruncado , construido por un octaedro truncado con sus caras cuadradas eliminadas y uniendo pares de agujeros entre sí).
- Mutetraedro : {6,6 | 3}: 6 hexágonos alrededor de cada vértice (relacionado con un panal de un cuarto de cúbico , construido por celdas tetraedro truncadas , eliminando caras triangulares y uniendo conjuntos de cuatro alrededor de un tetraedro sin rostro ).
Coxeter les da a estos apeiroedros de sesgo regular {2q, 2r | p} con simetría quiral extendida [[( p , q , p , r )] + ] que él dice que es isomorfo a su grupo abstracto (2 q , 2 r | 2, p ). El panal relacionado tiene la simetría extendida [[( p , q , p , r )]]. [2]
Simetría del grupo Coxeter | Apeiroedro {p, q | l} | Imagen | Rostro {p} | Hoyo { l } | Figura de vértice | Panal relacionado | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
[[4,3,4]] [[4,3,4] + ] | {4,6 | 4} Mucube | animación | t 0,3 {4,3,4} | ||||
{6,4 | 4} Muoctaedro | animación | 2t {4,3,4} | |||||
[[3 [4] ]] [[3 [4] ] + ] | {6,6 | 3} Mutetraedro | animación | q {4,3,4} |
Apeiroedros oblicuos regulares en 3 espacios hiperbólicos
En 1967, CWL Garner identificó 31 apeiroedros de sesgo hiperbólico con figuras de vértices poligonales de sesgo regular , encontradas en una búsqueda similar a los 3 anteriores del espacio euclidiano. [3]
Estos representan 14 poliedros de sesgo regular compactos y 17 paracompactos en el espacio hiperbólico, construidos a partir de la simetría de un subconjunto de gráficos de grupos de Coxeter lineales y cíclicos de la forma [[( p , q , p , r )]], Estos definen poliedros de sesgo regular {2 q , 2 r | p } y dual {2 r , 2 q | p }. Para el caso especial de los grupos de gráficos lineales r = 2, esto representa el grupo de Coxeter [ p , q , p ]. Genera sesgos regulares {2 q , 4 | p } y {4,2 q | p }. Todos estos existen como un subconjunto de caras de los panales uniformes convexos en el espacio hiperbólico .
El apeiroedro inclinado comparte la misma figura de vértice antiprisma con el panal, pero solo se realizan las caras del borde en zig-zag de la figura del vértice, mientras que las otras caras hacen "agujeros".
Grupo Coxeter | Apeiroedro {p, q | l} | Rostro {p} | Hoyo {l} | Panal | Figura de vértice | Apeiroedro {p, q | l} | Rostro {p} | Hoyo {l} | Panal | Figura de vértice | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
[3,5,3] | {10,4 | 3} | 2t {3,5,3} | {4,10 | 3} | t 0,3 {3,5,3} | |||||||
[5,3,5] | {6,4 | 5} | 2t {5,3,5} | {4,6 | 5} | t 0,3 {5,3,5} | |||||||
[(4,3,3,3)] | {8,6 | 3} | ct {(4,3,3,3)} | {6,8 | 3} | ct {(3,3,4,3)} | |||||||
[(5,3,3,3)] | {10,6 | 3} | ct {(5,3,3,3)} | {6,10 | 3} | ct {(3,3,5,3)} | |||||||
[(4,3,4,3)] | {8,8 | 3} | ct {(4,3,4,3)} | {6,6 | 4} | ct {(3,4,3,4)} | |||||||
[(5,3,4,3)] | {8,10 | 3} | ct {(4,3,5,3)} | {10,8 | 3} | ct {(5,3,4,3)} | |||||||
[(5,3,5,3)] | {10,10 | 3} | ct {(5,3,5,3)} | {6,6 | 5} | ct {(3,5,3,5)} |
Grupo Coxeter | Apeiroedro {p, q | l} | Rostro {p} | Hoyo {l} | Panal | Figura de vértice | Apeiroedro {p, q | l} | Rostro {p} | Hoyo {l} | Panal | Figura de vértice | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
[4,4,4] | {8,4 | 4} | 2t {4,4,4} | {4,8 | 4} | t 0,3 {4,4,4} | |||||||
[3,6,3] | {12,4 | 3} | 2t {3,6,3} | {4,12 | 3} | t 0,3 {3,6,3} | |||||||
[6,3,6] | {6,4 | 6} | 2t {6,3,6} | {4,6 | 6} | t 0,3 {6,3,6} | |||||||
[(4,4,4,3)] | {8,6 | 4} | ct {(4,4,3,4)} | {6,8 | 4} | ct {(3,4,4,4)} | |||||||
[(4,4,4,4)] | {8,8 | 4} | q {4,4,4} | |||||||||
[(6,3,3,3)] | {12,6 | 3} | ct {(6,3,3,3)} | {6,12 | 3} | ct {(3,3,6,3)} | |||||||
[(6,3,4,3)] | {12,8 | 3} | ct {(6,3,4,3)} | {8,12 | 3} | ct {(4,3,6,3)} | |||||||
[(6,3,5,3)] | {12,10 | 3} | ct {(6,3,5,3)} | {10,12 | 3} | ct {(5,3,6,3)} | |||||||
[(6,3,6,3)] | {12,12 | 3} | ct {(6,3,6,3)} | {6,6 | 6} | ct {(3,6,3,6)} |
Ver también
- Apeiroedro sesgado
- Poliedro oblicuo regular
- Tetrastix
Referencias
- ^ La simetría de las cosas, 2008, Capítulo 23 Objetos con simetría primaria , Poliedros platónicos infinitos , págs. 333–335
- ^ Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares II 2.34)
- ↑ Garner, CWL Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Lata. J. Math. 19, 1179-1186, 1967. [1] Nota: Su artículo dice que hay 32, pero uno es auto-dual, dejando 31.
- Petrie-Coxeter Maps Revisited PDF , Isabel Hubard, Egon Schulte, Asia Ivic Weiss, 2005
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 ,
- Peter McMullen , Poliedros regulares tetradimensionales , geometría discreta y computacional, septiembre de 2007, volumen 38, número 2, págs. 355–387
- Coxeter , Regular Polytopes , Tercera edición, (1973), Edición Dover, ISBN 0-486-61480-8
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
- (Prueba 2) HSM Coxeter, "Las esponjas regulares o poliedros oblicuos", Scripta Mathematica 6 (1939) 240–244.
- (Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Documento 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
- Coxeter , La belleza de la geometría: Doce ensayos , Publicaciones de Dover, 1999, ISBN 0-486-40919-8 (Capítulo 5: Poliedros oblicuos regulares en tres y cuatro dimensiones y sus análogos topológicos, Proceedings of the London Mathematics Society, Ser.2, Vol 43, 1937.)
- Coxeter, poliedros oblicuos regulares HSM en tres y cuatro dimensiones. Proc. London Math. Soc. 43, 33–62, 1937.