Nido de abeja dodecaédrico Order-5 | |
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Vista de proyección en perspectiva desde el centro del modelo de disco de Poincaré | |
Tipo | Nido de abeja hiperbólico regular Nido de abeja hiperbólico uniforme |
Símbolo de Schläfli | {5,3,5} t 0 {5,3,5} |
Diagrama de Coxeter-Dynkin | |
Células | {5,3} |
Caras | pentágono {5} |
Figura de borde | pentágono {5} |
Figura de vértice | icosaedro |
Doble | Auto-dual |
Grupo Coxeter | , [5,3,5] |
Propiedades | Regular |
El nido de abeja dodecaédrico de orden 5 es una de las cuatro teselaciones (o panales ) compactas y regulares que llenan el espacio en el 3-espacio hiperbólico . Con el símbolo de Schläfli {5,3,5}, tiene cinco celdas dodecaédricas alrededor de cada borde, y cada vértice está rodeado por veinte dodecaedros. Su figura de vértice es un icosaedro .
Un panal geométrico es un relleno de espacio de celdas poliédricas o de mayor dimensión , de modo que no hay espacios. Es un ejemplo del mosaico o teselado matemático más general en cualquier número de dimensiones.
Los panales generalmente se construyen en un espacio euclidiano ordinario ("plano"), como los panales convexos uniformes . También pueden construirse en espacios no euclidianos , como panales uniformes hiperbólicos . Cualquier politopo uniforme finito se puede proyectar a su circunsfera para formar un panal uniforme en el espacio esférico.
Descripción
El ángulo diedro de un dodecaedro regular euclidiano es ~ 116,6 °, por lo que no más de tres de ellos pueden caber alrededor de un borde en el espacio tridimensional euclidiano. En el espacio hiperbólico, sin embargo, el ángulo diedro es más pequeño que en el espacio euclidiano y depende del tamaño de la figura; el ángulo diedro más pequeño posible es 60 °, para un dodecaedro regular hiperbólico ideal con bordes infinitamente largos. Los dodecaedros en este panal dodecaédrico tienen un tamaño tal que todos sus ángulos diedros miden exactamente 72 °.
Imagenes
Politopos y panales relacionados
Hay cuatro panales compactos regulares en el espacio hiperbólico 3D:
{5,3,4} | {4,3,5} | {3,5,3} | {5,3,5} |
Hay otro panal en el 3-espacio hiperbólico llamado panal dodecaédrico de orden 4 , {5,3,4}, que tiene sólo cuatro dodecaedros por borde. Estos panales también están relacionados con el de 120 celdas que se puede considerar como un panal en un espacio curvado positivamente (la superficie de una esfera de 4 dimensiones), con tres dodecaedros en cada borde, {5,3,3}. Por último, el dítopo dodecaédrico , {5,3,2} existe en una esfera de 3 , con 2 células hemisféricas.
Hay nueve panales uniformes en la familia del grupo [5,3,5] Coxeter , incluida esta forma regular. También la forma bitruncada , t 1,2 {5,3,5},, de este panal tiene todas las células de icosaedro truncadas .
[5,3,5] panales familiares | |||||||||||
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{5,3,5} | r {5,3,5} | t {5,3,5} | rr {5,3,5} | t 0,3 {5,3,5} | |||||||
2t {5,3,5} | tr {5,3,5} | t 0,1,3 {5,3,5} | t 0,1,2,3 {5,3,5} | ||||||||
El espacio Seifert-Weber es una variedad compacta que puede formarse como un espacio cociente del panal dodecaédrico de orden 5.
Este panal es parte de una secuencia de policora y panales con figuras de vértice de icosaedro :
{p, 3,5} politopos | |||||||
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Espacio | S 3 | H 3 | |||||
Formulario | Finito | Compacto | Paracompacto | No compacto | |||
Nombre | {3,3,5} | {4,3,5} | {5,3,5} | {6,3,5} | {7,3,5} | {8,3,5} | ... {∞, 3,5} |
Imagen | |||||||
Células | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞, 3} |
Este panal es parte de una secuencia de politopos regulares y panales con células dodecaédricas :
{5,3, p} politopos | |||||||
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Espacio | S 3 | H 3 | |||||
Formulario | Finito | Compacto | Paracompacto | No compacto | |||
Nombre | {5,3,3} | {5,3,4} | {5,3,5} | {5,3,6} | {5,3,7} | {5,3,8} | ... {5,3, ∞} |
Imagen | |||||||
Figura de vértice | {3,3} | {3,4} | {3,5} | {3,6} | {3,7} | {3,8} | {3, ∞} |
{p, 3, p} panales regulares | |||||||||||
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Espacio | S 3 | Euclidiana E 3 | H 3 | ||||||||
Formulario | Finito | Afín | Compacto | Paracompacto | No compacto | ||||||
Nombre | {3,3,3} | {4,3,4} | {5,3,5} | {6,3,6} | {7,3,7} | {8,3,8} | ... {∞, 3, ∞} | ||||
Imagen | |||||||||||
Células | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞, 3} | ||||
Figura de vértice | {3,3} | {3,4} | {3,5} | {3,6} | {3,7} | {3,8} | {3, ∞} |
Nido de abeja dodecaédrico de orden 5 rectificado
Nido de abeja dodecaédrico de orden 5 rectificado | |
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Tipo | Panales uniformes en el espacio hiperbólico |
Símbolo de Schläfli | r {5,3,5} t 1 {5,3,5} |
Diagrama de Coxeter | |
Células | r {5,3} {3,5} |
Caras | triángulo {3} pentágono {5} |
Figura de vértice | prisma pentagonal |
Grupo Coxeter | , [5,3,5] |
Propiedades | Vértice-transitivo, borde-transitivo |
El panal dodecaédrico rectificado de orden 5 ,, tiene células alternas de icosaedro e icosidodecaedro , con una figura de vértice de prisma pentagonal .
Azulejos relacionados y panal
Hay cuatro panales regulares compactos rectificados:
Imagen | ||||
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Simbolos | r {5,3,4} | r {4,3,5} | r {3,5,3} | r {5,3,5} |
Figura de vértice |
Espacio | S 3 | H 3 | ||||
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Formulario | Finito | Compacto | Paracompacto | No compacto | ||
Nombre | r {3,3,5} | r {4,3,5} | r {5,3,5} | r {6,3,5} | r {7,3,5} | ... r {∞, 3,5} |
Imagen | ||||||
Células {3,5} | r {3,3} | r {4,3} | r {5,3} | r {6,3} | r {7,3} | r {∞, 3} |
Panal dodecaédrico truncado de orden 5
Panal dodecaédrico truncado de orden 5 | |
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Tipo | Panales uniformes en el espacio hiperbólico |
Símbolo de Schläfli | t {5,3,5} t 0,1 {5,3,5} |
Diagrama de Coxeter | |
Células | t {5,3} {3,5} |
Caras | triángulo {3} decágono {10} |
Figura de vértice | pirámide pentagonal |
Grupo Coxeter | , [5,3,5] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal dodecaédrico truncado de orden 5 ,, tiene células icosaedro y dodecaedro truncado , con una figura de vértice piramidal pentagonal .
Panales relacionados
Imagen | ||||
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Simbolos | t {5,3,4} | t {4,3,5} | t {3,5,3} | t {5,3,5} |
Figura de vértice |
Nido de abeja bitruncado orden-5 dodecaédrico
Nido de abeja bitruncado orden-5 dodecaédrico | |
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Tipo | Panales uniformes en el espacio hiperbólico |
Símbolo de Schläfli | 2t {5,3,5} t 1,2 {5,3,5} |
Diagrama de Coxeter | |
Células | t {3,5} |
Caras | pentágono {5} hexágono {6} |
Figura de vértice | difenoide tetragonal |
Grupo Coxeter | , [[5,3,5]] |
Propiedades | Transitivo de vértice, transitivo de borde, transitivo de celda |
El panal dodecaédrico bitruncado de orden 5 ,, tiene células icosaedro truncadas , con una figura de vértice tetragonal difenoide .
Panales relacionados
Imagen | |||
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Simbolos | 2t {4,3,5} | 2t {3,5,3} | 2t {5,3,5} |
Figura de vértice |
Nido de abeja dodecaédrico cantelado orden-5
Nido de abeja dodecaédrico cantelado orden-5 | |
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Tipo | Panales uniformes en el espacio hiperbólico |
Símbolo de Schläfli | rr {5,3,5} t 0,2 {5,3,5} |
Diagrama de Coxeter | |
Células | rr {5,3} r {3,5} {} x {5} |
Caras | triángulo {3} cuadrado {4} pentágono {5} |
Figura de vértice | cuña |
Grupo Coxeter | , [5,3,5] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal dodecaédrico cantelado de orden 5 ,, tiene células de rombicosidodecaedro , icosidodecaedro y prisma pentagonal , con una figura de vértice en cuña .
Panales relacionados
Cuatro panales compactos regulares cantelados en H 3 | |||||||||||||||
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Nido de abeja dodecaédrico cantitruncado de orden 5
Nido de abeja dodecaédrico cantitruncado de orden 5 | |
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Tipo | Panales uniformes en el espacio hiperbólico |
Símbolo de Schläfli | tr {5,3,5} t 0,1,2 {5,3,5} |
Diagrama de Coxeter | |
Células | tr {5,3} t {3,5} {} x {5} |
Caras | cuadrado {4} pentágono {5} hexágono {6} decágono {10} |
Figura de vértice | esfenoides reflejados |
Grupo Coxeter | , [5,3,5] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal dodecaédrico cantitruncado de orden 5 ,, tiene icosidodecaedro truncado , icosaedro truncado y células prismas pentagonales , con una figura de vértice esfenoidal reflejada .
Panales relacionados
Imagen | ||||
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Simbolos | tr {5,3,4} | tr {4,3,5} | tr {3,5,3} | tr {5,3,5} |
Figura de vértice |
Panal dodecaédrico de orden 5 runcinado
Panal dodecaédrico de orden 5 runcinado | |
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Tipo | Panales uniformes en el espacio hiperbólico |
Símbolo de Schläfli | t 0,3 {5,3,5} |
Diagrama de Coxeter | |
Células | {5,3} {} x {5} |
Caras | pentágono { 4} cuadrado {5} |
Figura de vértice | antiprisma triangular |
Grupo Coxeter | , [[5,3,5]] |
Propiedades | Vértice-transitivo, borde-transitivo |
El panal dodecaédrico de orden 5 runcinado ,, tiene células prisma dodecaedro y pentagonal , con una figura triangular de vértice antiprisma .
Panales relacionados
Imagen | |||
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Simbolos | t 0,3 {4,3,5} | t 0,3 {3,5,3} | t 0,3 {5,3,5} |
Figura de vértice |
Runcitruncado orden-5 panal dodecaédrico
Runcitruncado orden-5 panal dodecaédrico | |
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Tipo | Panales uniformes en el espacio hiperbólico |
Símbolo de Schläfli | t 0,1,3 {5,3,5} |
Diagrama de Coxeter | |
Células | t {5,3} rr {5,3} {} x {5} {} x {10} |
Caras | triángulo {3} cuadrado {4} pentágono {5} decágono {10} |
Figura de vértice | pirámide isósceles-trapezoidal |
Grupo Coxeter | , [5,3,5] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal dodecaédrico runcitruncado de orden 5 ,, tiene células truncadas de dodecaedro , rombicosidodecaedro , prisma pentagonal y prisma decagonal , con una figura de vértice piramidal isósceles-trapezoidal .
El nido de abeja dodecaédrico de orden 5 runcicantellated es equivalente al nido de abeja dodecaédrico runcitruncado de orden 5.
Panales relacionados
Cuatro panales compactos regulares runcitruncated en H 3 | |||||||||||||||
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Panal de abeja dodecaédrico de orden 5 omnitruncado
Panal de abeja dodecaédrico de orden 5 omnitruncado | |
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Tipo | Panales uniformes en el espacio hiperbólico |
Símbolo de Schläfli | t 0,1,2,3 {5,3,5} |
Diagrama de Coxeter | |
Células | tr {5,3} {} x {10} |
Caras | cuadrado {4} hexágono {6} decágono {10} |
Figura de vértice | disphenoid fílico |
Grupo Coxeter | , [[5,3,5]] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El nido de abeja dodecaédrico omnitruncado de orden 5 ,, tiene icosidodecaedro truncado y células prismas decagonales , con una figura de vértice de esfenoides fílico .
Panales relacionados
Tres panales compactos regulares omnitruncados en H 3 | ||||||||||||
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Ver también
- Panales uniformes convexos en el espacio hiperbólico
- Teselaciones regulares de 3 espacios hiperbólicos
- 57 celdas : un policorón regular abstracto que comparte el símbolo {5,3,5}.
Referencias
- Coxeter , Politopos regulares , 3er. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Tablas I y II: Politopos regulares y panales, págs. 294-296)
- Coxeter , La belleza de la geometría: Doce ensayos , Publicaciones de Dover, 1999 ISBN 0-486-40919-8 (Capítulo 10: Panales regulares en el espacio hiperbólico, Tablas de resumen II, III, IV, V, p212-213)
- Politopos uniformes de Norman Johnson , manuscrito
- NW Johnson : La teoría de politopos uniformes y panales , Ph.D. Disertación, Universidad de Toronto, 1966
- NW Johnson: Geometrías y Transformaciones , (2018) Capítulo 13: Grupos de Coxeter hiperbólico