Panal de cuarto cúbico | |
---|---|
![]() ![]() | |
Tipo | Panal uniforme |
Familia | Panal de abeja truncado simplectico Cuarto de abeja hipercúbico |
Indexación [1] | J 25,33 , A 13 W 10 , G 6 |
Símbolo de Schläfli | t 0,1 {3 [4] } o q {4,3,4} |
Diagrama de Coxeter-Dynkin | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Tipos de celdas | {3,3} (3,6,6)![]() ![]() |
Tipos de rostro | {3} , {6} |
Figura de vértice | ![]() ( antiprisma triangular isósceles ) |
Grupo espacial | Fd 3 metros (227) |
Grupo Coxeter | × 2 2 , [[3 [4] ]] |
Doble | Celda de cubille oblato : (1/4 de dodecaedro rómbico) ![]() |
Propiedades | vértice-transitivo , borde-transitivo |
El panal de un cuarto de abeja cúbico , un cuarto de celda cúbico o el panal de abeja cúbico alternado bitruncado es una teselación que llena el espacio (o panal ) en 3 espacios euclidianos . Está compuesto por tetraedros y tetraedros truncados en una proporción de 1: 1. Se le llama "cuarto cúbico" porque su unidad de simetría - el bloque mínimo a partir del cual se desarrolla el patrón por reflejos - consiste en cuatro de tales unidades del panal cúbico .
Es un vértice transitivo con 6 tetraedros truncados y 2 tetraedros alrededor de cada vértice.
Un panal geométrico es un relleno de espacio de celdas poliédricas o de mayor dimensión , de modo que no hay espacios. Es un ejemplo del mosaico o teselado matemático más general en cualquier número de dimensiones.
Los panales generalmente se construyen en un espacio euclidiano ordinario ("plano"), como los panales convexos uniformes . También pueden construirse en espacios no euclidianos , como panales uniformes hiperbólicos . Cualquier politopo uniforme finito se puede proyectar a su circunsfera para formar un panal uniforme en el espacio esférico.
Es uno de los 28 panales uniformes convexos .
Las caras de las celdas de este panal forman cuatro familias de planos paralelos, cada uno con un mosaico 3.6.3.6 .
Su figura de vértice es un antiprisma isósceles : dos triángulos equiláteros unidos por seis triángulos isósceles .
John Horton Conway llama a este panal un tetraedrilo truncado y su cubille doble achatado .
Los vértices y aristas representan una celosía de Kagome en tres dimensiones, [2] que es la celosía de pirocloro .
Construcción
El panal de un cuarto de cubo cúbico se puede construir en capas de losas de celdas tetraédricas y tetraédricas truncadas, vistas como dos mosaicos trihexagonales . Dos tetraedros están apilados por un vértice y una inversión central . En cada mosaico trihexagonal , la mitad de los triángulos pertenecen a tetraedros y la mitad a tetraedros truncados. Estas capas de losas deben apilarse con triángulos tetraedros a triángulos tetraédricos truncados para construir el panal uniforme de un cuarto de cúbico . Las capas de losa de prismas hexagonales y prismas triangulares se pueden alternar para panales alargados , pero estos tampoco son uniformes.
![]() | ![]() alicatado trihexagonal: ![]() ![]() ![]() |
Simetría
Las celdas se pueden mostrar en dos simetrías diferentes. La forma de reflexión generada representada por su diagrama de Coxeter-Dynkin tiene dos colores de cuboctaedros truncados . La simetría se puede duplicar relacionando los pares de nodos anillados y no anillados del diagrama de Coxeter-Dynkin, que puede mostrarse con celdas tetraédricas truncadas y tetraédricas de un color.
Simetría | , [3 [4] ] | × 2, [[3 [4] ]] |
---|---|---|
Grupo espacial | F 4 3m (216) | Fd 3 metros (227) |
Colorante | ![]() | ![]() |
Figura de vértice | ![]() | ![]() |
Simetría de la figura del vértice | C 3v [3] (* 33) orden 6 | D 3d [2 + , 6] (2 * 3) orden 12 |
Poliedros relacionados
![]() El subconjunto de caras hexagonales de este panal contiene un apeiroedro oblicuo regular {6,6 | 3}. | ![]() Existen cuatro conjuntos de planos paralelos de mosaicos trihexagonales a lo largo de este panal. |
Este panal es uno de los cinco panales uniformes distintos [3] construidos por el Grupo Coxeter . La simetría se puede multiplicar por la simetría de los anillos en los diagramas de Coxeter-Dynkin :
Panales A3 | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Grupo espacial | Fibrifold | Simetría cuadrada | Simetría extendida | Diagrama extendido | Grupo extendido | Diagramas de panal |
F 4 3m (216) | 1 o : 2 | a1 ![]() | [3 [4] ] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | (Ninguno) | |
Fm 3 metros (225) | 2 - : 2 | d2 ![]() | <[3 [4] ]> ↔ [4,3 1,1 ] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ↔ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | × 2 1 ↔ | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Fd 3 metros (227) | 2 + : 2 | g2 ![]() | [[3 [4] ]] o [2 + [3 [4] ]] | ![]() ![]() ![]() ↔ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | × 2 2 | ![]() ![]() ![]() |
Pm 3 m (221) | 4 - : 2 | d4 ![]() | <2 [3 [4] ]> ↔ [4,3,4] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ↔ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | × 4 1 ↔ | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Yo 3 (204) | 8 −o | r8 ![]() | [4 [3 [4] ]] + ↔ [[4,3 + , 4]] | ![]() ![]() ![]() ↔ ![]() ![]() ![]() | ½× 8 ↔ ½× 2 | ![]() ![]() ![]() |
Tengo 3 m (229) | 8 o : 2 | [4 [3 [4] ]] ↔ [[4,3,4]] | × 8 ↔× 2 | ![]() ![]() ![]() |
Panales C3 | |||||
---|---|---|---|---|---|
Grupo espacial | Fibrifold | Simetría extendida | Diagrama extendido | Pedido | Panales |
Pm 3 m (221) | 4 - : 2 | [4,3,4] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | × 1 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Fm 3 metros (225) | 2 - : 2 | [1 + , 4,3,4] ↔ [4,3 1,1 ] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ↔ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | Mitad | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Yo 4 3m (217) | 4 o : 2 | [[(4,3,4,2 + )]] | ![]() ![]() ![]() | Mitad × 2 | ![]() ![]() ![]() |
Fd 3 metros (227) | 2 + : 2 | [[1 + , 4,3,4,1 + ]] ↔ [[3 [4] ]] | ![]() ![]() ![]() ↔ ![]() ![]() ![]() | Trimestre × 2 | ![]() ![]() ![]() |
Tengo 3 m (229) | 8 o : 2 | [[4,3,4]] | ![]() ![]() ![]() | × 2 |
|
El panal de un cuarto cúbico está relacionado con una matriz de panales tridimensionales: q {2p, 4,2q}
Cuartos de abeja euclidianos / hiperbólicos ( paracompactos / no compactos ) q {p, 3, q} | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
p \ q | 4 | 6 | 8 | ... ∞ | |||||||
4 | ![]() q {4,3,4} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | q {4,3,6}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | q {4,3,8} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | q {4,3, ∞} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||||||
6 | q {6,3,4}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() q {6,3,6} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | q {6,3,8}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | q {6,3, ∞}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||||||
8 | q {8,3,4}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | q {8,3,6}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | q {8,3,8}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | q {8,3, ∞}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||||||
... ∞ | q {∞, 3,4}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | q {∞, 3,6}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | q {∞, 3,8}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | q {∞, 3, ∞}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Ver también
- Panal simplectico truncado
- Triakis panal tetraédrico truncado
- Teselación arquitectónica y catópica
Referencias
- ^ Para referencias cruzadas, se proporcionan con índices de lista de Andreini (1-22), Williams (1-2,9-19), Johnson (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51 -52, 61-65) y Grünbaum (1-28).
- ^ "Artículo de Physics Today sobre la palabra kagome " .
- ^ [1] , secuencia OEIS A000029 6-1 casos, omitiendo uno con cero
- John H. Conway , Heidi Burgiel , Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas , ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 21, Denominación de los poliedros y teselaciones de Arquímedes y Catalán, teselaciones arquitectónicas y catóptricas, p 292-298, incluye todas las formas no prismáticas)
- George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs , Manuscript (2006) (Lista completa de 11 teselaciones uniformes convexas, 28 panales uniformes convexos y 143 tetracumbas uniformes convexas)
- Branko Grünbaum , Azulejos uniformes de 3 espacios. Geombinatoria 4 (1994), 49 - 56.
- Politopos uniformes de Norman Johnson , Manuscrito (1991)
- Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro fuente de diseño . Publicaciones de Dover, Inc. ISBN 0-486-23729-X.
- Critchlow, Keith (1970). Order in Space: un libro fuente de diseño . Prensa vikinga. ISBN 0-500-34033-1.
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
- (Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 Rellenos de espacios uniformes)
- A. Andreini , Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (En las redes regulares y semirregulares de poliedros y en las redes correlativas correspondientes), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.
- DMY Sommerville , Introducción a la geometría de n dimensiones. Nueva York, EP Dutton, 1930. 196 págs. (Edición de publicaciones de Dover, 1958) Capítulo X: Los politopos regulares
- Klitzing, Richard. "Panales euclidianos 3D x3x3o3o3 * a - batatoh - O27" .
- Panales uniformes en 3 espacios: 15-Batatoh
Espacio | Familia | / / | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
E 2 | Azulejos uniformes | {3 [3] } | δ 3 | hδ 3 | qδ 3 | Hexagonal |
E 3 | Nido de abeja convexo uniforme | {3 [4] } | δ 4 | hδ 4 | qδ 4 | |
E 4 | Uniforme de 4 panales | {3 [5] } | δ 5 | hδ 5 | qδ 5 | Panal de 24 celdas |
E 5 | Uniforme de 5 panales | {3 [6] } | δ 6 | hδ 6 | qδ 6 | |
E 6 | Uniforme de 6 panales | {3 [7] } | δ 7 | hδ 7 | qδ 7 | 2 22 |
E 7 | Uniforme de 7 panales | {3 [8] } | δ 8 | hδ 8 | qδ 8 | 1 33 • 3 31 |
E 8 | Uniforme de 8 panal | {3 [9] } | δ 9 | hδ 9 | qδ 9 | 1 52 • 2 51 • 5 21 |
E 9 | Uniforme de 9 panales | {3 [10] } | δ 10 | hδ 10 | qδ 10 | |
E 10 | Uniforme de 10 panal | {3 [11] } | δ 11 | hδ 11 | qδ 11 | |
E n -1 | Uniforme ( n -1) - panal | {3 [n] } | δ n | hδ n | qδ n | 1 k2 • 2 k1 • k 21 |