Lista de politopos y compuestos regulares
Este artículo enumera los politopos regulares y los compuestos de politopos regulares en espacios euclidianos , esféricos e hiperbólicos .
El símbolo de Schläfli describe cada teselación regular de una n -esfera, espacios euclidianos e hiperbólicos. Un símbolo de Schläfli que describe un n -politopo describe de manera equivalente una teselación de una ( n - 1) -esfera. Además, la simetría de un politopo o teselación regular se expresa como un grupo de Coxeter , que Coxeter expresó de manera idéntica al símbolo de Schläfli, excepto delimitando por corchetes, una notación que se llama notación de Coxeter . Otro símbolo relacionado es el diagrama de Coxeter-Dynkin.que representa un grupo de simetría sin anillos, y representa un politopo regular o teselación con un anillo en el primer nodo. Por ejemplo, el cubo tiene el símbolo de Schläfli {4,3}, y con su simetría octaédrica , [4,3] o
, está representado por el diagrama de Coxeter 
.
Los politopos regulares están agrupados por dimensión y subgrupos por formas convexas, no convexas e infinitas. Las formas no convexas utilizan los mismos vértices que las formas convexas, pero tienen facetas que se cruzan . Las formas infinitas teselan un espacio euclidiano de una dimensión inferior.
Las formas infinitas se pueden extender para teselar un espacio hiperbólico . El espacio hiperbólico es como el espacio normal a pequeña escala, pero las líneas paralelas divergen a distancia. Esto permite que las figuras de vértices tengan defectos de ángulos negativos , como hacer un vértice con siete triángulos equiláteros y dejar que quede plano. No se puede hacer en un plano regular, pero se puede hacer a la escala correcta de un plano hiperbólico.
Una definición más general de politopos regulares que no tienen símbolos simples de Schläfli incluye politopos sesgados regulares y apeirótopos sesgados regulares con facetas no planas o figuras de vértice .
Tenga en cuenta que los mosaicos euclidianos e hiperbólicos reciben una dimensión más de lo que cabría esperar. Esto se debe a una analogía con los politopos finitos: un n -politopo regular convexo puede verse como una teselación del espacio esférico ( n −1) -dimensional. Así, los tres mosaicos regulares del plano euclidiano (por triángulos, cuadrados y hexágonos) se enumeran en la dimensión tres en lugar de dos.
