La conducción de calor relativista se refiere al modelado de la conducción de calor (y procesos de difusión similares ) de una manera compatible con la relatividad especial . Este artículo analiza los modelos que utilizan una ecuación de onda con un término disipativo.
La conducción de calor en un contexto newtoniano se modela mediante la ecuación de Fourier : [1]
donde θ es la temperatura , [2] t es el tiempo , α = k / ( ρ c ) es la difusividad térmica , k es la conductividad térmica , ρ es la densidad y c es la capacidad calorífica específica . El operador de Laplace ,, se define en coordenadas cartesianas como
Esta ecuación de Fourier se puede derivar sustituyendo la aproximación lineal de Fourier del vector de flujo de calor, q , en función del gradiente de temperatura,
en la primera ley de la termodinámica
donde el operador del , ∇, se define en 3D como
Se puede demostrar que esta definición del vector de flujo de calor también satisface la segunda ley de la termodinámica, [3]
donde s es la entropía específica y σ es la producción de entropía.
Modelo hiperbólico
Es bien sabido que la ecuación de Fourier (y la ley de difusión de Fick más general ) es incompatible con la teoría de la relatividad [4] por al menos una razón: admite una velocidad infinita de propagación de señales de calor dentro del campo continuo . Por ejemplo, considere un pulso de calor en el origen; luego, de acuerdo con la ecuación de Fourier, se siente (es decir, cambios de temperatura) en cualquier punto distante, instantáneamente. La velocidad de propagación de la información es más rápida que la velocidad de la luz en el vacío, lo que es inadmisible en el marco de la relatividad.
Para superar esta contradicción, trabajadores como Cattaneo, [5] Vernotte, [6] Chester, [7] y otros [8] propusieron que la ecuación de Fourier debería actualizarse de la forma parabólica a la hiperbólica ,
- .
En esta ecuación, C se denomina velocidad del segundo sonido (es decir, las partículas cuánticas ficticias, fonones). La ecuación se conoce como ecuación de conducción de calor hiperbólica (HCC). [9]
Matemáticamente, es lo mismo que la ecuación del telegrafista , que se deriva de las ecuaciones electrodinámicas de Maxwell .
Para que la ecuación HHC siga siendo compatible con la primera ley de la termodinámica, es necesario modificar la definición de vector de flujo de calor, q , a
dónde es un tiempo de relajación , tal que
La implicación más importante de la ecuación hiperbólica es que al cambiar de una ecuación diferencial parcial parabólica ( disipativa ) a hiperbólica (incluye un término conservador ) , existe la posibilidad de fenómenos como la resonancia térmica [10] [11] [12] y ondas de choque térmico . [13]
Notas
- ^ Carslaw, SA; Jaeger, JC (1959). Conducción de calor en sólidos (Segunda ed.). Prensa de la Universidad de Oxford.
- ^ Algunos autores también usan T , φ, ...
- ^ Barletta, A .; Zanchini, E. (1997). "Conducción de calor hiperbólico y equilibrio local: un análisis de la segunda ley". Revista Internacional de Transferencia de Calor y Masa . 40 (5): 1007–1016. doi : 10.1016 / 0017-9310 (96) 00211-6 .
- ^ Eckert, ERG; Drake, RM (1972). Análisis de transferencia de calor y masa . Tokio: McGraw-Hill, Kogakusha.
- ^ Cattaneo, CR (1958). "Sur une forme de l'équation de la chaleur éliminant le paradoxe d'une propagation instantanée". Comptes Rendus . 247 (4): 431.
- ^ Vernotte, P. (1958). "Les paradoxes de la theorie continue de l'équation de la chaleur". Comptes Rendus . 246 (22): 3154.
- ^ Chester, M. (1963). "Segundo sonido en sólidos". Revisión física . 131 (15): 2013-2015. Código bibliográfico : 1963PhRv..131.2013C . doi : 10.1103 / PhysRev.131.2013 .
- ^ Morse, PM; Feshbach, H. (1953). Métodos de Física Teórica . Nueva York: McGraw-Hill.
- ^ Joseph, DD; Preziosi, L. (1989). "Olas de calor". Revisión de la física moderna . 61 (1): 47–71.
- ^ Mandrusiak, GD (1997). "Análisis de ondas de conducción no Fourier de una fuente de calor recíproca". Revista de termofísica y transferencia de calor . 11 (1): 82–89. doi : 10,2514 / 2,6204 .
- ^ Xu, M .; Wang, L. (2002). "Oscilación térmica y resonancia en conducción de calor con retardo de fase dual". Revista Internacional de Transferencia de Calor y Masa . 45 (5): 1055–1061. doi : 10.1016 / S0017-9310 (01) 00199-5 .
- ^ Barletta, A .; Zanchini, E. (1996). "Conducción de calor hiperbólico y resonancias térmicas en un sólido cilíndrico que lleva un campo eléctrico periódico constante". Revista Internacional de Transferencia de Calor y Masa . 39 (6): 1307-1315. doi : 10.1016 / 0017-9310 (95) 00202-2 .
- ^ Tzou, DY (1989). "Formación de ondas de choque alrededor de una fuente de calor en movimiento en un sólido con velocidad finita de propagación de calor". Revista Internacional de Transferencia de Calor y Masa . 32 (10): 1979–1987. doi : 10.1016 / 0017-9310 (89) 90166-X .