En matemáticas, un sistema no autónomo de ecuaciones diferenciales ordinarias se define como una ecuación dinámica en un haz de fibras lisas . encima . Por ejemplo, este es el caso de la mecánica no autónoma no relativista , pero no la mecánica relativista . Para describir la mecánica relativista , se debe considerar un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias en una variedad suave. cuya fibración sobre no es fijo. Tal sistema admite transformaciones de una coordenada en dependiendo de otras coordenadas en . Por lo tanto, se llama sistema relativista . En particular, la relatividad especial en el espacio de Minkowski es de este tipo.
Desde un espacio de configuración de un sistema relativista no tiene fibración preferible sobre , un espacio de velocidad de sistema relativista es una variedad de chorro de primer orden de subvariedades unidimensionales de . La noción de chorros de subvariedades generaliza la de chorros de secciones de haces de fibras que se utilizan en la teoría de campo clásica covariante y en la mecánica no autónoma . Un paquete de jet de primer ordenes proyectiva y, siguiendo la terminología de la relatividad especial , se puede pensar en sus fibras como espacios de las velocidades absolutas de un sistema relativista. Coordenadas dadas en , un colector de chorro de primer orden cuenta con las coordenadas adaptadas que posee funciones de transición
Las velocidades relativistas de un sistema relativista están representadas por elementos de un haz de fibras. , coordinado por , dónde es el paquete tangente de . Luego, una ecuación genérica de movimiento de un sistema relativista en términos de velocidades relativistas dice
Por ejemplo, si es el espacio de Minkowski con una métrica de Minkowski , esta es una ecuación de una carga relativista en presencia de un campo electromagnético.
Ver también
Referencias
- Krasil'shchik, IS, Vinogradov, AM, [et al.], "Simetrías y leyes de conservación para ecuaciones diferenciales de física matemática", Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958-X .
- Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashntly, G. , Formulación geométrica de la mecánica clásica y cuántica (World Scientific, 2010) ISBN 981-4313-72-6 ( arXiv : 1005.1212 ).