En matemáticas, la configuración de Reye , introducida por Theodor Reye ( 1882 ), es una configuración de 12 puntos y 16 líneas. Cada punto de la configuración pertenece a cuatro líneas y cada línea contiene tres puntos. Por lo tanto, en la notación de configuraciones, la configuración de Reye se escribe como 12 4 16 3 .
Realización
La configuración de Reye se puede realizar en un espacio proyectivo tridimensional tomando las líneas como los 12 bordes y las cuatro diagonales largas de un cubo , y los puntos como los ocho vértices del cubo, su centro y los tres puntos donde se agrupan los cuatro aristas de cubo paralelas se encuentran con el plano en el infinito. Se pueden inscribir dos tetraedros regulares dentro de un cubo, formando una estela octangula ; estos dos tetraedros son figuras en perspectiva entre sí de cuatro formas diferentes, y los otros cuatro puntos de la configuración son sus centros de perspectiva. Estos dos tetraedros junto con el tetraedro de los 4 puntos restantes forman un sistema desmico de tres tetraedros.
Cualesquiera dos esferas disjuntas en un espacio tridimensional, con diferentes radios, tienen dos conos dobles bitangentes , cuyos vértices se denominan centros de similitud. Si se dan tres esferas, con sus centros no colineales, entonces sus seis centros de similitud forman los seis puntos de un cuadrilátero completo , cuyas cuatro líneas se denominan ejes de similitud. Y si se dan cuatro esferas, con sus centros no coplanares, entonces determinan 12 centros de similitud y 16 ejes de similitud, que juntos forman una instancia de la configuración de Reye ( Hilbert y Cohn-Vossen 1952 ).
La configuración de Reye también se puede realizar mediante puntos y líneas en el plano euclidiano , dibujando la configuración tridimensional en perspectiva de tres puntos . Una configuración 8 3 12 2 de ocho puntos en el plano proyectivo real y 12 líneas que los conectan, con el patrón de conexión de un cubo, puede extenderse para formar la configuración Reye si y solo si los ocho puntos son una proyección en perspectiva de un paralelepípedo. ( Servatius y Servatius 2010 )
Las 24 permutaciones de los puntos forman los vértices de 24 celdas centradas en el origen del espacio euclidiano de cuatro dimensiones. Estos 24 puntos también forman las 24 raíces en el sistema de raíces. . Se pueden agrupar en pares de puntos opuestos entre sí en una línea que pasa por el origen. Las líneas y planos que pasan por el origen del espacio euclidiano tetradimensional tienen la geometría de los puntos y líneas del espacio proyectivo tridimensional , y en este espacio proyectivo tridimensional las líneas que pasan por pares opuestos de estos 24 puntos y los planos centrales por estos puntos se convierten en puntos y líneas de la configuración de Reye ( Manivel 2006 ). Las permutaciones deforman las coordenadas homogéneas de los 12 puntos en esta configuración.
Solicitud
Aravind (2000) señaló que la configuración de Reye subyace en algunas de las demostraciones del teorema de Bell-Kochen-Specker sobre la no existencia de variables ocultas en la mecánica cuántica.
Configuraciones relacionadas
La configuración de Pappus puede formarse a partir de dos triángulos que son figuras en perspectiva entre sí de tres formas diferentes, análoga a la interpretación de la configuración de Reye que involucra tetraedros desmicos.
Si la configuración de Reye se forma a partir de un cubo en un espacio tridimensional, entonces hay 12 planos que contienen cuatro líneas cada uno: los seis planos de caras del cubo y los seis planos a través de pares de bordes opuestos del cubo. La intersección de estos 12 planos y 16 líneas con otro plano en posición general produce una configuración 16 3 12 4 , el dual de la configuración Reye. La configuración original de Reye y su doble juntos forman una configuración de 28 4 28 4 ( Grünbaum & Rigby 1990 ).
Hay 574 configuraciones distintas de tipo 12 4 16 3 ( Betten & Betten 2005 ).
Referencias
- Aravind, PK (2000), "Cómo la configuración de Reye ayuda a probar el teorema de Bell-Kochen-Specker: un cuento geométrico curioso" (PDF) , Foundations of Physics Letters , 13 (6): 499-519, doi : 10.1023 / A : 1007863413622 , MR 1814009
- Berger, Marcel (2010), Geometría revelada , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-540-70997-8 , ISBN 978-3-540-70996-1, MR 2724440
- Betten, Anton; Betten, Dieter (2005), "Más sobre espacios lineales regulares" (PDF) , Journal of Combinatorial Designs , 13 (6): 441–461, doi : 10.1002 / jcd.20055 , MR 2221852.
- Grünbaum, Branko ; Rigby, JF (1990), "The real configuration (21 4 )", Journal of the London Mathematical Society , Second Series, 41 (2): 336–346, doi : 10.1112 / jlms / s2-41.2.336 , MR 1067273.
- Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952), "22. Configuración de Reye", Geometry and the Imagination (2ª ed.), Nueva York: Chelsea, págs. 134-143, ISBN 978-0-8284-1087-8. Véanse también las págs. 154-157.
- Manivel, L. (2006), "Configuraciones de líneas y modelos de álgebras de Lie", Journal of Algebra , 304 (1): 457–486, arXiv : math / 0507118 , doi : 10.1016 / j.jalgebra.2006.04.029 , Señor 2256401. Consulte en particular la sección 2.1, "La configuración y prueba de Reye", págs. 460–461.
- Reye, Th. (1882), "Das Problem der Configurationen", Acta Mathematica (en alemán), 1 (1): 93–96, doi : 10.1007 / BF02391837 , MR 1554576.
- Servacio, Brigitte ; Servatius, Herman (2010), "La configuración de Reye generalizada", Ars Mathematica Contemporanea , 3 (1): 21-27, doi : 10.26493 / 1855-3974.108.423 , MR 2592512.