Las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds (o ecuaciones RANS ) son ecuaciones de movimiento promediadas en el tiempo [a] para el flujo de fluidos . La idea detrás de las ecuaciones es la descomposición de Reynolds , mediante la cual una cantidad instantánea se descompone en sus cantidades promediadas en el tiempo y fluctuantes, una idea propuesta por primera vez por Osborne Reynolds . [1] Las ecuaciones de RANS se utilizan principalmente para describir flujos turbulentos . Estas ecuaciones se pueden utilizar con aproximaciones basadas en el conocimiento de las propiedades de la turbulencia del flujo para dar soluciones aproximadas promediadas en el tiempo a las ecuaciones de Navier-Stokes . Paraflujo estacionario de un fluido newtoniano incompresible , estas ecuaciones se pueden escribir en notación de Einstein en coordenadas cartesianas como:
El lado izquierdo de esta ecuación representa el cambio en el momento medio de un elemento fluido debido a la inestabilidad en el flujo medio y la convección por el flujo medio. Este cambio se equilibra con la fuerza corporal media, la tensión isotrópica debido al campo de presión media, las tensiones viscosas y la tensión aparente.debido al campo de velocidad fluctuante, generalmente conocido como esfuerzo de Reynolds . Este término de tensión de Reynolds no lineal requiere un modelo adicional para cerrar la ecuación RANS para su resolución y ha llevado a la creación de muchos modelos de turbulencia diferentes . El operador de tiempo promedioes un operador de Reynolds .
La herramienta básica necesaria para la derivación de las ecuaciones RANS a partir de las ecuaciones instantáneas de Navier-Stokes es la descomposición de Reynolds . La descomposición de Reynolds se refiere a la separación de la variable de flujo (como la velocidad) en el componente medio (promediado en el tiempo) () y el componente fluctuante (). Dado que el operador medio es un operador de Reynolds , tiene un conjunto de propiedades. Una de estas propiedades es que la media de la cantidad fluctuante es igual a cero. Por lo tanto,
- , dónde es el vector de posición. Algunos autores [2] prefieren usar en vez de para el término medio (ya que a veces se usa una barra superior para representar un vector). En este caso, el término fluctuante está representado en su lugar por . Esto es posible porque los dos términos no aparecen simultáneamente en la misma ecuación. Para evitar confusiones, la notación se utilizará para representar los términos instantáneo, medio y fluctuante, respectivamente.
Las propiedades de los operadores de Reynolds son útiles en la derivación de las ecuaciones de RANS. Usando estas propiedades, las ecuaciones de movimiento de Navier-Stokes, expresadas en notación tensorial, son (para un fluido newtoniano incompresible):
dónde es un vector que representa fuerzas externas.
A continuación, cada cantidad instantánea puede dividirse en componentes promediados en el tiempo y fluctuantes, y la ecuación resultante promediada en el tiempo, [b] para producir:
La ecuación de la cantidad de movimiento también se puede escribir como, [c]
En más manipulaciones esto produce,
dónde, es la tasa media del tensor de deformación.
Finalmente, dado que la integración en el tiempo elimina la dependencia temporal de los términos resultantes, la derivada temporal debe eliminarse, dejando:
La ecuación de evolución temporal de la tensión de Reynolds viene dada por: [3]
Esta ecuación es muy complicada. Sise traza, se obtiene energía cinética de turbulencia . El ultimo trimestrees la tasa de disipación turbulenta. Todos los modelos RANS se basan en la ecuación anterior.