con siendo el vector de velocidad de flujo que tiene componentes en el dirección de coordenadas (con que denota los componentes del vector de coordenadas ). Las velocidades mediasse determinan mediante promedios de tiempo , promedios espaciales o promedios de conjuntos , según el flujo en estudio. Más denota la parte fluctuante (turbulencia) de la velocidad.
Consideramos un fluido homogéneo, cuya densidad ρ se toma como constante. Para tal fluido, los componentes τ ' ij del tensor de tensión de Reynolds se definen como:
Otra definición, de uso frecuente, para densidad constante, de los componentes de tensión de Reynolds es:
que tiene las dimensiones de la velocidad al cuadrado, en lugar de la tensión.
Dada la velocidad del fluido en función de la posición y el tiempo, escriba la velocidad promedio del fluido como , y la fluctuación de la velocidad es . Luego.
Las reglas de conjunto convencionales de promediar son que
Uno divide las ecuaciones de Euler (dinámica de fluidos) o las ecuaciones de Navier-Stokes en una parte promedio y una fluctuante. Uno encuentra que al promediar las ecuaciones de fluidos, aparece una tensión en el lado derecho de la forma. Este es el acento de Reynolds, escrito convencionalmente:
La divergencia de esta tensión es la densidad de fuerza sobre el fluido debido a las fluctuaciones turbulentas.
Promedio de Reynolds de las ecuaciones de Navier-Stokes
Al definir las variables de flujo anteriores con un componente promediado en el tiempo y un componente fluctuante, las ecuaciones de continuidad y momento se convierten en
y
Examinando uno de los términos del lado izquierdo de la ecuación del momento, se ve que
donde el último término del lado derecho desaparece como resultado de la ecuación de continuidad. En consecuencia, la ecuación de la cantidad de movimiento se convierte en
Ahora se promediarán las ecuaciones de continuidad y momento. Es necesario emplear las reglas de conjunto de promediar, teniendo en cuenta que el promedio de productos de cantidades fluctuantes no desaparecerá en general. Después de promediar, las ecuaciones de continuidad y momento se convierten en
y
Usando la regla del producto en uno de los términos del lado izquierdo, se revela que
donde el último término del lado derecho desaparece como resultado de la ecuación de continuidad promediada. La ecuación de impulso promediado ahora se convierte, después de una reordenación:
donde el Reynolds enfatiza, , se recogen con los términos viscoso normal y esfuerzo cortante, .
Discusión
La ecuación de evolución temporal de la tensión de Reynolds fue dada en primer lugar por la ecuación (1.6) en el artículo de Zhou Peiyuan . [1] La ecuación en forma moderna es
Esta ecuación es muy compleja. Sise traza, se obtiene energía cinética de turbulencia . El ultimo trimestre es la tasa de disipación turbulenta.
La pregunta entonces es, ¿cuál es el valor del estrés de Reynolds? Este ha sido objeto de intenso modelado e interés durante aproximadamente el siglo pasado. El problema se reconoce como un problema de cierre , similar al problema de cierre en la jerarquía BBGKY . Se puede encontrar una ecuación de transporte para el esfuerzo de Reynolds tomando el producto externo de las ecuaciones de fluidos por la velocidad fluctuante, consigo mismo.
Uno encuentra que la ecuación de transporte para la tensión de Reynolds incluye términos con correlaciones de orden superior (específicamente, la correlación triple ) así como las correlaciones con las fluctuaciones de presión (es decir, el impulso transportado por las ondas sonoras). Una solución común es modelar estos términos mediante simples prescripciones ad hoc .
La teoría de la tensión de Reynolds es bastante análoga a la teoría cinética de los gases y, de hecho, se puede ver que el tensor de tensión en un fluido en un punto es el promedio del conjunto de la tensión debido a las velocidades térmicas de las moléculas en un punto dado en un fluido. Así, por analogía, a veces se piensa que la tensión de Reynolds consiste en una parte de presión isotrópica, denominada presión turbulenta, y una parte fuera de la diagonal que puede considerarse como una viscosidad turbulenta efectiva.
De hecho, aunque se ha invertido mucho esfuerzo en desarrollar buenos modelos para la tensión de Reynolds en un fluido, en la práctica, cuando se resuelven las ecuaciones de fluidos utilizando la dinámica de fluidos computacional, a menudo los modelos de turbulencia más simples resultan los más efectivos. Una clase de modelos, estrechamente relacionada con el concepto de viscosidad turbulenta, son los modelos de turbulencia k-épsilon , basados en ecuaciones de transporte acopladas para la densidad de energía turbulenta. (similar a la presión turbulenta, es decir, la traza de la tensión de Reynolds) y la tasa de disipación turbulenta .
Por lo general, el promedio se define formalmente como un promedio de conjunto como en la teoría de conjuntos estadística . Sin embargo, como cuestión práctica, el promedio también se puede considerar como un promedio espacial en alguna escala de longitud, o un promedio temporal. Tenga en cuenta que, si bien formalmente la conexión entre tales promedios se justifica en la mecánica estadística de equilibrio por el teorema ergódico , la mecánica estadística de la turbulencia hidrodinámica está lejos de entenderse actualmente. De hecho, el esfuerzo de Reynolds en cualquier punto dado en un fluido turbulento está sujeto a interpretación, dependiendo de cómo se defina el promedio.